Hauptmenü öffnen
Ausschnitt einer Wendelfläche für

Die Wendelfläche oder Helikoide ist eine Fläche aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Sie ist neben der Ebene die einzige einfach zusammenhängende Minimalfläche im 3-dimensionalen euklidischen Raum.

ParametrisierungBearbeiten

 
Ein Ausschnitt der Wendelfläche zum Parameter  . Der Ausschnitt zeigt den Teil für   und  .

Für eine fest gewählte Konstante   parametrisiert man die Wendelfläche durch

 
 
 ,

wobei   und   alle reellen Werte annehmen, also von   bis   laufen.

MinimalflächeBearbeiten

Die Hauptkrümmungen der Wendelfläche in dem den Parametern   entsprechenden Punkt sind   und  , die mittlere Krümmung ist also in jedem Punkt null, die Wendelfläche ist eine Minimalfläche.

Topologisch ist sie homöomorph zur Ebene.

Lokal ist sie isometrisch zum Katenoid, sie ist aber nicht zu diesem homöomorph.

Sie ist eine Regelfläche und eine Schraubfläche. Sie lässt sich auch als Schiebfläche darstellen.

Praktische und wissenschaftliche Bedeutung – ChiralitätBearbeiten

In der Natur, in der Architektur und in der Chemie gibt es zahlreiche Anwendungsbereiche für Wendelflächen. Dabei spielt die Drehrichtung (Chiralität) auch eine Rolle.

GeschichteBearbeiten

Die Helikoide wurde im 18. Jahrhundert von Euler und Meusnier beschrieben. Catalan bewies 1842, dass sie neben der Ebene die einzige minimale Regelfläche ist. Meeks und Rosenberg bewiesen 2005 (aufbauend auf Ungleichungen von Colding-Minicozzi), dass es nur 2 Arten von einfach zusammenhängenden Minimalflächen im   gibt: die Ebene und die Helikoide.[1][2] Für von null verschiedenes topologisches Geschlecht fanden sich durch David Allen Hoffman und Kollegen in den 1990er Jahren aber weitere Beispiele, die aus der Helicoide hervorgingen. Den Beweis, dass sie für Genus 1 eine vollständige einbettbare Minimalfläche bilden, erbrachten Hoffman, Michael Wolf und Matthias Weber 2009[3] (davor war dies außer für den Fall des Geschlechts 0 nur für den Fall unendlichen Geschlechts bewiesen).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. William H. Meeks, Harold Rosenberg (2005). The uniqueness of the helicoid. Annals of Mathematics (2), 161 (2), 727–758 doi:10.4007/annals.2005.161.727
  2. Tobias H. Colding, William P. Minicozzi (2004). The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold. IV. Locally simply connected. Annals of Mathematics (2), 160 (2), 573–615 doi:10.4007/annals.2004.160.573
  3. David Allen Hoffman, Matthias Weber, Michael Wolf: An embedded genus-one helicoid, Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 347–448 (und Proc. Nat. Acad. USA, Band 102, 2005, S. 16566–16568)

WeblinksBearbeiten

  Commons: Helicoids – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Helicoid: Sammlung von Bildern und Animationen (Matthias Weber, Indiana University)