Chiralität (Mathematik)

In der Geometrie ist eine Figur chiral (und hat Chiralität), wenn sie nicht mit ihrem Spiegelbild identisch ist, oder genauer gesagt, wenn sie nicht allein durch Drehungen und Parallelverschiebungen auf ihr Spiegelbild abgebildet werden kann. Ein Objekt, das nicht chiral ist, wird als achiral bezeichnet.

Der Fußabdruck hier zeigt Chiralität. Einzelne linke und rechte Fußabdrücke sind chirale enantiomorphe Formen in einer Ebene, da sie Spiegelbilder sind und keine Spiegelsymmetrie enthalten.

Ein chirales Objekt und sein Spiegelbild nennt man enantiomorph. Das Wort Chiralität leitet sich vom griechischen Wort für Hand χείρ (cheir) ab, dem bekanntesten chiralen Objekt; Das Wort enantiomorph stammt aus dem Griechischen ἐναντίος (enantios) 'Gegenteil' und μορφή (morphe) 'Form'.

BeispieleBearbeiten

 
Linke und rechte Hand-Regel in drei Dimensionen
Die Tetrominos S und Z sind enantiomorph in 2 Dimensionen
 
S
 
Z

Einige chirale dreidimensionale Objekte, wie die Helix, können gemäß der Drei-Finger-Regel einer Rechts- oder Links-Händigkeit zugeordnet werden.

Viele andere bekannte Objekte wie Handschuhe und Schuhe weisen die gleiche chirale Symmetrie auf wie der menschliche Körper. Rechte Schuhe unterscheiden sich von linken Schuhen nur dadurch, dass sie Spiegelbilder voneinander sind. Im Gegensatz dazu können dünne (Einweg-)Handschuhe nicht als chiral angesehen werden, wenn man sie durchziehen kann, sie also von innen nach außen gedreht werden können.

Die J- bzw. L- und S- bzw. Z-förmigen Tetrominos des beliebten Videospiels Tetris weisen ebenfalls Chiralität auf, jedoch nur in einem zweidimensionalen Raum. Einzeln enthalten sie keine Spiegelsymmetrie in der Ebene.

Chiralität und SymmetriegruppenBearbeiten

Eine Figur ist genau dann achiral, wenn ihre Symmetriegruppe mindestens eine Isometrie zur Umkehrung der Orientierung enthält. (In der euklidischen Geometrie kann jede Isometrie als   mit einer orthogonalen Matrix   und einem Vektor   geschrieben werden. Die Determinante von   ist dann entweder 1 oder -1. Wenn sie -1 ist, ist die Isometrie orientierungs-umkehrend, andernfalls ist sie orientierungs-erhaltend.)

Siehe [1] für eine vollständige mathematische Definition der Chiralität.

Chiralität in drei DimensionenBearbeiten

 
Ein Paar von chiralen Spielwürfeln (enantiomorph)

In drei Dimensionen ist jede Figur achiral, die eine Spiegelsymmetrieebene  , ein Inversions-Symmetriezentrum   oder eine höhere Symmetrieachse   mit Drehspiegelung[2] besitzt. (Eine Symmetrieebene einer Figur   ist eine Ebene  , wenn   unter der Abbildung   invariant ist, wobei   wird als  - -Ebene des Koordinatensystems gewählt wird. Ein Symmetriezentrum einer Figur   ist ein Punkt  , wenn   unter der Abbildung   invariant ist, wobei   als Ursprung des Koordinatensystems gewählt wird.) Beachten Sie jedoch, dass es achirale Figuren gibt, denen sowohl die Ebene als auch das Symmetriezentrum fehlen. Ein Beispiel ist die Figur

 ,

die unter der Orientierungsumkehr-Isometrie   invariant und somit achiral ist, aber weder Symmetrie-Ebene noch -Zentrum hat. Die Figur

 

ist auch achiral, da der Ursprung ein Symmetriezentrum ist, aber eine Symmetrieebene fehlt.

Achirale Figuren können eine Mittelachse haben.

Chiralität in zwei DimensionenBearbeiten

 
Die farbige Halskette in der Mitte ist in der Ebene chiral, die beiden anderen sind achiral. Dies bedeutet, dass als physische Halsketten auf einem Tisch die linke und die rechte in ihr Spiegelbild gedreht werden können, während sie auf dem Tisch verbleiben. Die in der Mitte müsste jedoch hochgenommen und dreidimensional gedreht werden.

In zwei Dimensionen ist jede Figur, die eine Symmetrieachse besitzt, achiral, und es kann gezeigt werden, dass jede begrenzte achirale Figur eine Symmetrieachse haben muss. (Eine Symmetrieachse einer Figur   ist eine Gerade  , wenn   unter der Abbildung   invariant ist, wobei   als x-Achse des Koordinatensystems gewählt wird.) Aus diesem Grund ist ein Dreieck achiral, wenn es gleichseitig oder gleichschenklig ist, und chiral, wenn es ungleichseitig ist.

Man betrachte folgendes Muster:

 

Diese Figur ist chiral, da sie nicht mit ihrem Spiegelbild identisch ist:

 

Wenn man jedoch das Muster in beide Richtungen bis ins Unendliche verlängert, erhält man eine (unbegrenzte) achirale Figur, die keine Symmetrieachse hat. Seine Symmetriegruppe ist eine Friesgruppe, die durch eine einzelne Gleitspiegelung erzeugt wird.

KnotentheorieBearbeiten

Ein Knoten wird als achiral bezeichnet, wenn er kontinuierlich in sein Spiegelbild verformt werden kann, andernfalls wird er als chiraler Knoten bezeichnet. Zum Beispiel sind der triviale Knoten und der Achterknoten achiral, während die Kleeblattschlinge chiral ist.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Petitjean, M.: Chirality in metric spaces. In memoriam Michel Deza. In: Optimization Letters. 2017. doi:10.1007/s11590-017-1189-7.
  2. Symmetry operations and symmetry elements. In: chemwiki.ucdavis.edu. Abgerufen am 25. März 2016.