Ein Umgebungssystem ist ein spezielles Mengensystem in der mengentheoretischen Topologie, einer Grundlagendisziplin der Mathematik. Ein Umgebungssystem eines Punktes besteht aus allen Mengen, in denen der Punkt „echt enthalten“ ist, sich also in ihrem Inneren befindet. Somit ist das Umgebungssystem eines Punktes die Menge aller Umgebungen eines Punktes. Umgebungssysteme spielen eine wichtige Rolle in der Topologie, wo durch sie der Konvergenzbegriff für Folgen passend auf topologische Räume verallgemeinert wird. In diesem Zusammenhang werden Umgebungssysteme auch Umgebungsfilter genannt.

Definition

Bearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum   sowie ein beliebiges  .

Das Umgebungssystem oder der Umgebungsfilter von   ist die Menge aller Umgebungen von   und wird mit   bezeichnet. Es ist also

 .

(Eine Menge   heißt eine Umgebung von  , wenn es eine Menge   gibt, so dass   gilt)

Beispiel

Bearbeiten

Gegeben sei eine Menge  , versehen mit der diskreten Topologie, sprich jede Teilmenge von   ist eine offene Menge. Dann ist jede Menge, die   enthält, stets offen und somit eine Umgebung. Das Umgebungssystem ist also

 

Betrachtet man umgekehrt die indiskrete Topologie, bei der nur die gesamte Menge und die leere Menge offen sind, so ist   die einzige Umgebung jedes Punktes und somit

 .

Eigenschaften

Bearbeiten

Umgebungssysteme haben folgende Eigenschaften:

  • Ist   und  , so ist auch  . Denn ist   eine Umgebung von  , so existiert ein  . Dann ist aber auch   und somit ist auch   eine Umgebung von  .
  • Für jedes   ist trivialerweise  .
  • Für   und  , wobei   ist, gilt
     
Endliche Schnitte von Umgebungen sind also wieder Umgebungen. Dies folgt direkt aus der Schnittstabilität der in den Umgebungen enthaltenen offenen Mengen.
  • Zu jeder Umgebung   gibt es eine Umgebung  , so dass   eine Umgebung der Menge   ist.

Somit handelt es sich bei dem Umgebungssystem um einen Mengenfilter, worauf die Benennung als Umgebungsfilter beruht.

Verwendung

Bearbeiten

Erzeugung von Topologien

Bearbeiten

Mittels Umgebungssystemen lassen sich Topologien definieren. Dazu nutzt man aus, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Dies entspricht   für alle  

Sind nun zu jedem   Mengensysteme   angegeben, welche die vier oben unter Eigenschaften aufgeführten Punkte erfüllen, so lässt sich eine Topologie   wie folgt erklären:

  genau dann, wenn  .

Diese Topologie ist eindeutig bestimmt und besitzt die Mengensysteme   als Umgebungssysteme von  .

Filterkonvergenz

Bearbeiten

In allgemeinen Topologischen Räumen ist der gewöhnlich Konvergenzbegriff mittels Folgen nicht mehr ausreichend, daher greift man auf Netze oder Mengenfilter zurück, um die Konvergenz sinnvoll zu erweitern. So heißt dann ein Filter   konvergent gegen  , wenn   ist. Mit diesem neuen Konvergenzbegriff lassen sich viele Formulierungen für Folgen aus metrischen Räumen äquivalent formulieren: So ist   genau dann, wenn ein Filter existiert, der gegen   konvergiert und   enthält. Ebenso lassen sich mittels der Konvergenz von Filtern auch Hausdorff-Räume charakterisieren.

Weiterführende Begriffe

Bearbeiten

Eine Menge   heißt eine Umgebungsbasis, wenn jede beliebige Menge   ein   enthält. Die Mächtigkeit von Umgebungsbasen hat weitreichende strukturelle Folgen. Von topologischen Räumen, in denen alle Punkte abzählbare Umgebungsbasen haben, sagt man auch, dass sie das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. In ihnen kann beispielsweise auf die Filterkonvergenz verzichtet werden, die Folgenkonvergenz ist uneingeschränkt gültig.

Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten