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Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist ein physikalisches Gesetz, das die thermisch abgestrahlte Leistung eines idealen Schwarzen Körpers in Abhängigkeit von seiner Temperatur angibt. Es ist benannt nach den Physikern Josef Stefan und Ludwig Boltzmann.

Inhaltsverzeichnis

Stefan-Boltzmann-GesetzBearbeiten

 
Anstieg der emittierten Strahlungsleistung über die Temperatur

Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt liegt, gibt Wärmestrahlung an seine Umgebung ab. Ein Schwarzer Körper ist ein idealisierter Körper, der alle auf ihn treffende Strahlung vollständig absorbieren kann (Absorptionsgrad = 1). Nach dem kirchhoffschen Strahlungsgesetz erreicht daher auch sein Emissionsgrad ε den Wert 1, und er sendet die bei der betreffenden Temperatur maximal mögliche thermische Leistung aus. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt an, welche Strahlungsleistung   ein Schwarzer Körper der Fläche   und der absoluten Temperatur   aussendet. Es lautet

 

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten  . Die Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers ist also proportional zur vierten Potenz seiner absoluten Temperatur: Eine Verdopplung der Temperatur bewirkt, dass die abgestrahlte Leistung um den Faktor 16 ansteigt. Dieses Gesetz wird deshalb auch als „Boltzmannsches T-hoch-vier-Gesetz“ bezeichnet.

Der Wert der Stefan-Boltzmann-Naturkonstanten beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit[1]

 
Legende
  Kreiszahl Mathematische Konstante
  Boltzmann-Konstante Naturkonstante, nicht mit der Stefan-Boltzmann-Konstante   zu verwechseln
  Plancksches Wirkungsquantum Naturkonstante
  Lichtgeschwindigkeit Naturkonstante
  Watt SI-Einheit der Leistung
  Meter SI-Einheit der Länge
  Kelvin SI-Einheit der absoluten Temperatur

Ein- und zweidimensionaler FallBearbeiten

Das oben erwähnte Gesetz gilt für dreidimensionale Körper, d. h., alle Längendimensionen   befinden sich im Bereich  , d. h. sind sehr groß im Verhältnis zur betrachteten Wellenlänge  . Falls eine Körperdimension   sehr klein ist im Vergleich zur Wellenlänge, wenn also   gilt, so handelt es sich um einen zweidimensionalen Körper (Fläche). Und falls zwei Körperdimensionen   sehr klein sind im Vergleich zur Wellenlänge, also   handelt es sich um einen eindimensionalen Körper (Stab). In diesen Fällen können sich die Wellen im Körper nicht in drei Dimensionen ausbreiten, und somit ist die gesamte innere Energie   kleiner. Es gilt für eindimensionale Körper

 

mit

 

und für zweidimensionale Körper

 

mit

 

wobei   die Riemannsche Zeta-Funktion bezeichnet und   auch als Apéry-Konstante bezeichnet wird. Die abgestrahlte Energie eines Schwarzen Körpers ist im Allgemeinen also proportional zur  -ten Potenz seiner absoluten Temperatur, wobei   die Dimension des Körpers bezeichnet.

Herleitung aus der ThermodynamikBearbeiten

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz wurde im Jahr 1879 von Josef Stefan experimentell entdeckt.[2] Boltzmann leitete 1884 dieses Strahlungsgesetz aus Gesetzen der Thermodynamik und der klassischen Maxwellschen Elektrodynamik ab.[3] Ausgehend von einer der thermodynamischen Grundgleichungen für ein abgeschlossenes System im thermodynamischen Gleichgewicht:

 

findet man unter Beachtung der Integrabilitätsbedingung den Ausdruck

 

mit

Maxwell zeigte bereits 1873, dass sich der Strahlungsdruck als

 

schreiben lässt.   ist hierbei die Energiedichte der elektromagnetischen Strahlung. Adolfo Bartoli konnte ferner im Jahre 1876 die Existenz eines Strahlungsdruckes thermodynamisch rechtfertigen, indem er darlegte, dass im Falle der Nichtexistenz der zweite Hauptsatz der Thermodynamik verletzt würde. Der Vorfaktor 1/3 folgt allerdings nur aus elektrodynamischen Betrachtungen.

Setzt man diesen Ausdruck für   in die vorhergehende Beziehung ein und berücksichtigt, dass die gesamte Energie in einem Volumen sich als   schreiben lässt, so folgt nach Integration

 

bzw. für die gesamte Energie

 

Die Integrationskonstante   bleibt jedoch zunächst unbestimmt. Sie musste durch Experimente, wie zum Beispiel jene von Joseph Stefan, bestimmt werden. Dass es sich dabei um eine aus anderen Naturkonstanten zusammengesetzte Größe handelt, zeigte sich erst in der Quantenmechanik. Im Jahre 1900, also 21 Jahre nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz, entdeckte Max Planck das nach ihm benannte plancksche Strahlungsgesetz, aus dem das Stefan-Boltzmann-Gesetz einfach durch Integration über alle Richtungen und Wellenlängen folgt. Das plancksche Strahlungsgesetz konnte mit der Einführung des Wirkungsquantums   auch erstmals die Stefan-Boltzmann-Konstante auf fundamentale Naturkonstanten zurückführen.

In älterer Literatur wird die Größe   ebenfalls als Stefan-Boltzman-Konstante bezeichnet.[4] Mit der durch das CODATA unter diesem Namen geführten Konstanten   steht  , die sogenannte Strahlungskonstante, allerdings über

 

in Beziehung; in Zahlen ausgedrückt:

 

Herleitung aus der QuantenmechanikBearbeiten

Zur Herleitung geht man von der spektralen Strahlungsdichte eines Schwarzen Körpers aus und integriert diese sowohl über den gesamten Halbraum, in den das betrachtete Flächenelement abstrahlt, als auch über alle Frequenzen:

 

Gemäß dem Lambertschen Gesetz berücksichtigt dabei der Kosinusfaktor den Umstand, dass bei Abstrahlung in eine beliebige durch die Winkel   und   gegebene Richtung nur die auf dieser Richtung senkrecht stehende Projektion   der Fläche   als effektive Strahlfläche auftritt. Der Term   ist ein Raumwinkelelement.

Da der Schwarze Körper grundsätzlich ein diffuser Strahler und seine spektrale Strahldichte daher richtungsunabhängig ist, ergibt das Integral, ausgeführt über den Halbraum, den Wert  . Für die Integration über die Frequenzen ist

 

zu beachten. Integriert man die so erhaltene spezifische Ausstrahlung   noch über die abstrahlende Fläche, erhält man das Stefan-Boltzmann-Gesetz in der oben angegebenen Form.

Für den ein- und zweidimensionalen Fall sind hier zwei andere Integrale zu lösen. Es gilt:[5]

 

Somit folgt für  

 

und daraus folgt für  

 

Diese Integrale werden z. B. durch geschickte Umformung oder mit Hilfe der Funktionentheorie gelöst.[6]

Nicht-Schwarze StrahlerBearbeiten

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gilt in der obigen Form nur für Schwarze Strahler. Wenn ein Nicht-Schwarzer Strahler gegeben ist, der richtungsunabhängig strahlt (sogenannter Lambert-Strahler) und dessen Emissionsgrad   für alle Frequenzen denselben Wert hat (sogenannter Grauer Körper), dann ist

 

die von diesem abgegebene Strahlungsleistung. Dabei ist der Emissionsgrad   der gewichtete gemittelte Emissionsgrad über alle Wellenlängen und die Wichtungsfunktion ist die Schwarzkörperenergieverteilung.   streut materialabhängig zwischen 0,012 und 0,98. Ist der Emissionsgrad wellenlängenabhängig, so ändert sich die Strahlungsverteilung nicht nur wegen der Änderung der Planck-Verteilung. Durch diese zusätzliche Temperaturabhängigkeit ist die gesamte Strahlungsleistung nicht mehr streng proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur.

Für einen Strahler, bei dem die Richtungsunabhängigkeit oder die Frequenzunabhängigkeit der Emission nicht gegeben ist, muss zur Bestimmung des hemisphärischen Gesamtemissionsgrads ε(T) das Integral individuell unter Zugrundelegung der betreffenden Gesetzmäßigkeiten berechnet werden. Viele Körper weichen nur wenig vom idealen Lambert-Strahler ab; wenn der Emissionsgrad in dem Frequenzbereich, in dem der Körper einen merklichen Anteil seiner Strahlungsleistung abgibt, nur wenig variiert, lässt sich das Stefan-Boltzmann-Gesetz zumindest näherungsweise anwenden.

BeispielBearbeiten

 
Vergleich des Abstrahlverhaltens der Sonne und eines Schwarzen Körpers. Die effektive Temperatur der Sonne beträgt 5777 K.

Außerhalb der Erdatmosphäre im Abstand Sonne-Erde empfängt eine zur Sonne ausgerichtete Fläche eine Bestrahlungsstärke von S = 1367 W/m² (Solarkonstante). Man bestimme die Temperatur   der Sonnenoberfläche unter der Annahme, dass die Sonne in hinreichender Näherung ein Schwarzer Körper sei. Der Sonnenradius beträgt R = 6,963·108 m, der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne ist D = 1,496·1011 m.

Die von der Sonnenoberfläche abgegebene Strahlungsleistung P durchdringt eine konzentrisch um die Sonne gelegte Kugelschale des Radius D mit der Bestrahlungsstärke S, beträgt also insgesamt P = 4πD²·S = 3,845·1026 W (Leuchtkraft der Sonne). Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz beträgt die Temperatur der abstrahlenden Oberfläche

 

Die so bestimmte Temperatur der Sonnenoberfläche heißt Effektivtemperatur. Es ist die Temperatur, die ein gleich großer Schwarzer Körper haben müsste, um dieselbe Strahlungsleistung abzugeben wie die Sonne.

Siehe auchBearbeiten

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz macht eine Aussage über die von einem Schwarzen Körper auf allen Frequenzen insgesamt abgegebene Strahlungsleistung. Die Aufteilung auf einzelne Frequenzen bzw. Wellenlängen wird vom planckschen Strahlungsgesetz beschrieben.

Das wiensche Verschiebungsgesetz verbindet die Temperatur eines Schwarzen Körpers mit der am stärksten abgestrahlten Wellenlänge.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Stefan-Boltzmann constant. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. August 2015. Wert für  .
  2. J. Stefan: Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur. In: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Bd. 79 (Wien 1879), S. 391–428.
  3. L. Boltzmann: Ableitung des Stefan’schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie. In: Annalen der Physik und Chemie. Bd. 22, 1884, S. 291–294 doi:10.1002/andp.18842580616.
  4. I. P. Bazarov: Thermodynamik. Dt. Verl. der Wiss., Berlin 1964, S. 130.
  5. Planck’s law (Appendix) in der englischsprachigen Wikipedia, 30. Mai 2009 (as edited by DumZiBoT at 08:56).
  6. Stefan–Boltzmann law (Appendix) in der englischsprachigen Wikipedia, 30. März 2009 (as edited by JAnDbot at 17:59).