In der Mathematik stellt der Satz von Serre und Swan einen Zusammenhang zwischen Vektorbündeln und projektiven Moduln oder, in K-theoretischer Formulierung, zwischen der K-Theorie eines Raumes und seiner Funktionenalgebra her.

Vektorbündel und projektive Moduln

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Zu einem Vektorbündel   über einem topologischen Raum   sei   der Vektorraum seiner Schnitte. Dieser ist ein Modul über dem Ring   der stetigen Funktionen.

Man kann zeigen, dass   ein endlich erzeugter, projektiver  -Modul ist.

Sei   die Halbgruppe der Isomorphieklassen der Vektorbündel über   mit der Whitney-Summe   als Verknüpfung und   die Halbgruppe der Isomorphieklassen endlich erzeugter, projektiver  -Moduln. Die auf Vertretern definierte Zuordnung

 

ist wohldefiniert und ein Homomorphismus von Monoiden, das heißt, es gilt  . In dieser Formel wird nicht zwischen Isomorphieklassen und Vertretern daraus unterschieden, was wegen der Wohldefiniertheit möglich ist.

Der Satz von Serre und Swan besagt, dass für einen kompakten Hausdorff-Raum   diese Zuordnung eine Bijektion   ist.

K-theoretische Formulierung

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Da die topologische K-Theorie eines Raumes   die Grothendieck-Gruppe der Halbgruppe   und die topologische K-Theorie der Banachalgebra   die Grothendieck-Gruppe der Halbgruppe   ist, folgt aus dem Satz von Serre und Swan unmittelbar der Isomorphismus

 

für jeden kompakten Hausdorff-Raum  .

Literatur

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  • Jean-Pierre Serre: Faisceaux algébriques cohérents. In: Annals of Mathematics. 61 (2), 197–278 (1955).
  • Richard Swan: Vector bundles and projective modules. In: Transactions of the American Mathematical Society. 105 (2), 264–277 (1962).