Topologische K-Theorie

verallgemeinerte Kohomologietheorie

In der Mathematik, speziell in der algebraischen Topologie, beschäftigt sich die Topologische K-Theorie mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen. Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Definitionen

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Es sei   ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist   der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen der stabil äquivalenten komplexen Vektorbündeln über   nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

 

für beliebige komplexe Vektorbündel   über   erzeugt wird. Dabei bezeichnet   die Whitney-Summe der Vektorbündel. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Man kann sich Elemente von   also als formale Summen und Differenzen von (Isomorphieklassen von) komplexen Vektorbündeln denken.

Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle  -Theorie  . Zur besseren Abgrenzung nennt man die K-Theorie der komplexen Vektorbündel auch komplexe K-Theorie.

Zwei Vektorbündel   und   auf   definieren genau dann dasselbe Element in  , wenn sie stabil äquivalent sind, d. h. wenn es ein triviales Vektorbündel   gibt, so dass

 

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird   zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der  -Theorie. Die reduzierte K-Theorie   ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung   ein; dabei bezeichnet   die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften

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  •   ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
  • Es gibt einen topologischen Raum  , so dass Elemente von   den Homotopieklassen von Abbildungen   entsprechen.
  • Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus  , den Chern-Charakter.

Bott-Periodizität

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Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden äquivalenten Arten formulieren:

  •   und   dabei ist   die Klasse des tautologischen Bündels über  .
  •  
  •  .

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Berechnung

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Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.[1]

K-Theorie für Banachalgebren

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Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume   kann als K-Theorie der Banachalgebren   der stetigen Funktionen   umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung   ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.[2]

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

Siehe auch

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Algebraische K-Theorie

Literatur

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  • Michael Atiyah: K -theory. Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
  • Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory (math.cornell.edu).
  • Karlheinz Knapp: Vektorbündel. (link.springer.com).
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  1. Atiyah, Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. In: Proc. Sympos. Pure Math. Band III. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1961, S. 7–38.
  2. Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.