Hardy-Raum

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In der Funktionentheorie ist ein Hardy-Raum ein Funktionenraum holomorpher Funktionen auf bestimmten Teilmengen von . Hardy-Räume sind die Entsprechungen der -Räume in der Funktionalanalysis. Sie werden nach Godfrey Harold Hardy benannt, der sie 1914[1] einführte.

DefinitionBearbeiten

Üblicherweise werden zwei Klassen von Hardy-Räumen definiert, abhängig von dem Gebiet   in der komplexen Ebene, auf dem ihre Funktionen definiert sind.

Hardy-Räume auf der EinheitskreisscheibeBearbeiten

Sei   die Einheitskreisscheibe in  . Dann besteht für   der Hardy-Raum   aus allen holomorphen Funktionen  , für die gilt

 

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „ -Norm“ von   bezeichnet, in Symbolen  .

Für   setzt man   und definiert   als Raum aller holomorphen Funktionen  , für die dieser Wert endlich ist.

Hardy-Räume auf der oberen HalbebeneBearbeiten

Sei   die obere Halbebene in  . Dann besteht für   der Hardy-Raum   aus allen holomorphen Funktionen  , für die gilt

 

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „ -Norm“ von   bezeichnet, in Symbolen  .

Für   setzt man   und definiert   als Raum aller holomorphen Funktionen  , für die dieser Wert endlich ist.

Wenn allgemein von Hardy-Räumen   die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob   oder  ); üblicherweise ist es der Raum   von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe  .

FaktorisierungBearbeiten

Für   kann jede Funktion   als Produkt   geschrieben werden, worin   eine äußere Funktion und   eine innere Funktion ist.

Für   auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist   eine innere Funktion genau dann, wenn   auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert

 

für fast alle   existiert und sein absoluter Betrag gleich 1 ist.   ist eine äußere Funktion, wenn

 

für einen reellen Wert   und eine reellwertige und auf dem Einheitskreis integrable Funktion  .

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Für   sind die Räume   Banachräume.
  • Für   gilt   und  .
  • Für   gilt  . Dabei sind alle diese Inklusionen echt.

Reelle Hardy-RäumeBearbeiten

Aus den Hardy-Räumen der oberen Halbebene entwickelten Elias Stein und Guido Weiss die Theorie der reellen Hardy-Räume  .

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Schwartz-Funktion auf   und   für t > 0 eine Dirac-Folge. Sei   eine temperierte Distribution, so sind die radiale Maximalfunktion   und die nicht-tangentiale Maximalfunktion   definiert durch

 

Hierbei bezeichnet   die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.

Charles Fefferman und Elias M. Stein bewiesen für   und  , dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:

  1.   für ein   mit  ,
  2.   für ein   mit  ,
  3.   für jedes   und   ist in einer geeigneten Teilmenge   gleichmäßig beschränkt in  .

Man definiert den reellen Hardy-Raum   als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

Atomare ZerlegungBearbeiten

Insbesondere  -Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine Reihe "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein  -Atom ist für   eine Funktion  , so dass gilt:

  1.   hat ihren Träger in einem Ball  ;
  2.   fast überall; und
  3.   für alle   mit  .

Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung   und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung

 .

Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für   mit   kann   als Reihe von  -Atomen  

 

geschrieben werden. Dabei ist   eine Folge komplexer Zahlen mit  . Die Reihe   konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter

 .

Verbindung zu den Hardy-RäumenBearbeiten

Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall  . Der interessante Fall   wird also mit abgehandelt und für   erhält man die ganze Spanne  .

Seien

 

Funktionen auf der oberen Halbebene, welche die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen

  und
 

für   erfüllen.

Jede Funktion   ist also eine harmonische Funktion und im Fall   entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion   bezüglich der Variablen  .

Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion   genau dann eine der drei äquivalenten  -Bedingungen, falls eine Funktion   existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genügt und welche  -beschränkt ist, was

 

bedeutet.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Für   gilt analog  . Also auch die reellen Hardy-Räume können für diese p mit den entsprechenden  -Räumen identifiziert werden.
  • Für den Fall   kann man   als echte Teilmenge von   auffassen.
  •   liegt für   dicht in  .
  • Der Hardy-Raum   ist nicht reflexiv, der Funktionenraum BMO ist sein Dualraum.

AnwendungenBearbeiten

Hardy-Räume finden Anwendung in der Funktionalanalysis selbst, aber ebenso in der Kontrolltheorie und in der Streutheorie. Sie spielen auch in der Signalverarbeitung eine grundlegende Rolle. Einem reellwertigen Signal  , das für alle   von endlicher Energie ist, ordnet man das analytische Signal   zu, so dass  . Ist  , so ist   und

 

(Die Funktion   ist die Hilberttransformierte von  ). Beispielsweise ist für ein Signal  , dessen zugeordnetes analytisches Signal   ist, durch   gegeben.

LiteraturBearbeiten

  • Joseph A. Cima and William T. Ross: The Backward Shift on the Hardy Space. American Mathematical Society 2000, ISBN 0-8218-2083-4.
  • Peter Colwell: Blaschke Products - Bounded Analytic Functions. University of Michigan Press, Ann Arbor 1985, ISBN 0-472-10065-3.
  • Peter Duren: Theory of  -Spaces. Academic Press, New York 1970.
  • Kenneth Hoffman: Banach spaces of analytic functions. Dover Publications, New York 1988, ISBN 0-486-65785-X.
  • Javier Duoandikoetxea: Fourier Analysis. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2001, S. 126, ISBN 0-8218-2172-5.
  • Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Mathods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. G.F. Hardy: The mean value of the modulus of an analytic function. Proc. London Math. Soc. 14, pp. 269–277 (1914).