Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)

Funktionalanalysis

Der numerische Wertebereich ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der linearen Algebra.

Definition

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Für einen komplexen Hilbertraum   mit Skalarprodukt   und einen beschränkten linearen Operator   ist der numerische Wertebereich von   gegeben durch

 

wobei   die durch   auf   induzierte Norm ist.

Analog zum Spektralradius definiert man den numerischen Radius durch  .

Im Spezialfall komplexwertiger, quadratischer Matrizen   ist die Definition des numerischen Wertebereichs gleichwertig zu

 

  ist hier also der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten.

Eigenschaften

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Die folgenden Eigenschaften gelten für beschränkte lineare Operatoren  .

  •   bzw. äquivalent dazu  . Hierbei bezeichnet   die Operatornorm von  .
  • Der numerische Wertebereich von   ist konvex. (Satz von Toeplitz-Hausdorff)
  • Das Spektrum   liegt im Abschluss von  :  . Ist   endlich-dimensional, gilt sogar  .
  • Jedes  , für das   gilt, ist ein Eigenwert von  .

Anwendungen

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Der rechte reelle Achsenabschnitt des numerischen Wertebereichs ist die logarithmische Norm, bei einer Matrix   ist dies

 

Mit ihr kann eine Schranke für die Spektralnorm des Matrixexponentials angegeben werden, es gilt

 

Denn   löst das Anfangswertproblem  . Dann gilt für die Euklidnorm  , dass ihre Ableitung die Ungleichung   erfüllt, woraus   folgt. Dies entspricht der Schranke für das Matrixexponential.

Literatur

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  • E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Springer, 1991.