Lindblad-Gleichung

In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators , welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

HintergrundBearbeiten

Die Lindblad-Gleichung für eine auf das  -dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix   kann geschrieben werden als:

 

Dabei bezeichnet

Die Summation läuft nur über  , weil wir   proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die   für   spurlos sind.

Die Terme in der Summation, bei denen   gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:

 

Falls die Terme   alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.

Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen   werden Lindblad-Gleichungen genannt:

 

DiagonalisierungBearbeiten

Da die Matrix   positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation   diagonalisiert werden:

 

wobei die Eigenwerte   nicht negativ sind.

Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis   definieren:

 

können wir die Lindblad-Gleichung in diagonaler Form umschreiben:

 

Diese Gleichung ist invariant unter unitärer Transformation der Lindblad-Operatoren und -Konstanten,

 

und auch unter inhomogener Transformation

 
 

Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren   (solange nicht alle   identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der  , sind die   der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

Beispiel Harmonischer OszillatorBearbeiten

Ein häufiges Beispiel ist die Beschreibung der Dämpfung eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt

 

Hier ist

  •   die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
  •   die Zerfallsrate.

Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, um diverse Formen von Dephasierung und Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) zu modellieren. Diese Methoden sind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden zur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.

LiteraturBearbeiten

  • A. Kossakowski: On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems. In: Reports on Mathematical Physics. Band 3, Nr. 4, 1972, doi:10.1016/0034-4877(72)90010-9, bibcode:1972RpMP....3..247K.
  • G. Lindblad: On the generators of quantum dynamical semigroups. In: Communications in Mathematical Physics. Band 48, Nr. 2, 1. Juni 1976, ISSN 0010-3616, S. 119–130, doi:10.1007/BF01608499, bibcode:1976CMaPh..48..119L.
  • Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski, E. C. G. Sudarshan: Completely positive dynamical semigroups of N‐level systems. In: Journal of Mathematical Physics. Band 17, Nr. 5, 1. Mai 1976, ISSN 0022-2488, S. 821–825, doi:10.1063/1.522979 (aip.org).
  • C. Lindblad: Non-Equilibrium Entropy and Irreversibility. Springer Verlag, 1983, ISBN 1-4020-0320-X (books.google.com).
  • Thomas Banks, Leonard Susskind, Michael E. Peskin: Difficulties for the evolution of pure states into mixed states. In: Nuclear Physics B. Band 244, Nr. 1, 1984, doi:10.1016/0550-3213(84)90184-6, bibcode:1984NuPhB.244..125B.
  • Quantum dynamical semigroups and applications. Springer Verlag, Berlin 1987, ISBN 0-387-18276-4.
  • Roman S. Ingarden, A. Kossakowski, M. Ohya: Information dynamics and open systems. Classical and quantum approach. Springer Verlag, Berlin 1997, ISBN 0-7923-4473-1.
  • Luigi Accardi, Yun Gang Lu, Igor V. Volovič: Quantum theory and its stochastic limit. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York/ Barcelona/ Hong Kong/ London/ Mailand/ Paris/ Tokyo 2002, ISBN 3-540-41928-4.
  • The Theory of Open Quantum Systems. Oxford University Press, New York 2002, ISBN 0-19-852063-8.
  • Open quantum systems. 2. The Markovian approach. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2006, ISBN 3-540-30992-6.
  • Quantum mechanics of non-Hamiltonian and dissipative systems. Elsevier Science, Amsterdam/ Boston/ London/ New York 2008, ISBN 978-0-08-055971-1.
  • C.W. Gardiner, Peter Zoller: Quantum noise. A handbook of Markovian and non-Markovian quantum stochastic methods with applications to quantum optics (= Springer Series in Synergetics). 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-06094-6.

WeblinksBearbeiten