Kerr-Metrik

mathematische Beschreibung ungeladener rotierender Schwarzer Löcher

Die Kerr-Metrik ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von ungeladenen und rotierenden Schwarzen Löchern. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat.[1] Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik im Wesentlichen die Raumzeit eines Schwarzen Lochs, denn schnell rotierende Sterne haben oft ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten,[2] sodass sich deren Raumzeit-Geometrie erst in einem gewissen Abstand von der Oberfläche des Sterns an die Kerr-Metrik annähert.[3]

Metriken für Schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: Elektrische Ladung; : Drehimpuls

LinienelementBearbeiten

Im Artikel wird, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) oftmals verwendet, die Vorzeichenkonvention   für die Metrik benutzt.

Boyer-Lindquist-KoordinatenBearbeiten

Mit den kovarianten

 

und den durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

 

metrischen Koeffizienten[4][5][6] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h.  :[4][7]

 

oder ausgeschrieben

 

Der D’Alembert-Operator lautet:

 

Dabei gilt:

 

  ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe eines Penrose-Prozesses,[8][9] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse   auf die irreduzible Masse  . Für diese gilt:[10][11]

 

Nach   aufgelöst gilt auch:

 

Der Rotationsenergie   entspricht also in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie einer Masse. Für den Fall, dass der Körper mit   rotiert, ergibt sich ein um den Faktor   höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse.

  ist der Schwarzschild-Radius. Der Parameter   wird auch Kerrparameter genannt. Er ist proportional zum Drehimpuls   des Schwarzen Loches. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

Für den Fall einer verschwindenden Rotation mit   reduziert sich das obige Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten. Setzt man zusätzlich den Masseparamter auf Null   reduziert sich das obige Linienelement auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.

Kerr-KoordinatenBearbeiten

In der Originalarbeit von R. Kerr werden zwei Koordinatensysteme vorgestellt und verwendet.[1] Bei der ersten Form reduziert sich das Linienelement mit   auf das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Eddington-Finkelstein-Koordinaten.[12]

Die nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten lauten[13][5]

 

Die kontravarianten Komponenten lauten:

 

Die radiale Koordinate   und der Polwinkel   sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Die beiden anderen Koordinaten unterscheiden sich von den Boyer-Lindquist-Pendants.

Der lokale Beobachter mit konstantem   und   befindet sich nicht auf einer festen Radialkoordinate. Er fällt radial gemäß

 

auf die zentrale Masse zu, während er wie der lokale Boyer-Lindquist-Beobachter mit der Winkelgeschwindigkeit

 

um die Symmetrieachse rotiert.[13]

So ein gedachter lokaler Beobachter wird in der Literatur auch „zero angular momentum observer“ oder kurz ZAMO genannt.[14][15] Siehe dazu auch weiter unten den Abschnitt Bahn von Testkörpern.

Die zweite Form des metrischen Tensors aus der Originalarbeit erhält man über die Koordinatentransformation:[1][16]

 

Diese Koordinaten werden in der Literatur auch als Kerr-Schild-Koordinaten bezeichnet.

Kerr-Schild-KoordinatenBearbeiten

In Kerr-Schild-Koordinaten wird die Koordinatensingularität am Ereignishorizont vermieden.[8][7][12]

Das Linienelement lautet

 .

  wird dabei durch die folgende Gleichung festgelegt:

 

Besondere FlächenBearbeiten

Die Raumzeit, die durch die Kerr-Metrik beschrieben wird, besitzt aufgrund der Nullstellen im Nenner der Komponenten des metrischen Tensors einige Besonderheiten, die näher untersucht werden können. Genau wie bei einem ungeladenen und nicht-rotierenden Schwarzen Loch gibt es auch hier sogenannte lichtartige und stationäre Untermannigfaltigkeiten. Eine dieser Untermannigfaltigkeiten bildet einen physikalisch bedeutsamen Ereignishorizont, weil der Lichtkegel aller Punkte auf dieser Fläche komplett auf der Innenseite dieser Fläche liegt. Demnach können Lichtstrahlen den Ereignishorizont nur in Richtung hin zur Singularität bei   verlassen. Neben dem Ereignishorizont gibt es noch eine zweite physikalisch bedeutsame Fläche, die im Folgenden näher beschrieben wird. Weiterführende Rechnungen zeigen, dass nur der äußere Ereignishorizont und die äußere Ergosphäre eine eigentliche physikalische Bedeutung hat.[16]

Um eine anschauliche Vorstellung von der Form der besonderen Flächen zu bekommen, kann man entweder Koordinaten mit einer anschaulichen Bedeutung, wie den Kerr-Schild-Koordinaten verwenden oder man untersucht das Krümmungsverhalten dieser Flächen. In den Grafiken wird die Darstellung des metrischen Tensors in Kerr-Schild-Koordinaten verwendet. Eine Beschreibung des Krümmungsverhaltens der besonderen Flächen kann den angegebenen Referenzen entnommen werden.[17][16]

EreignishorizontBearbeiten

 
Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in Kerr-Schild-Koordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei  [18]
 
Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter   läuft von 0 bis   wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.[19]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entarten die oben angegebenen Komponenten des metrischen Tensors auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente   gleich Null werden, wenn   gesetzt und nach   aufgelöst wird. Die beiden Ereignishorizonte liegen damit auf

 

Bei maximaler Rotation mit   fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius   zusammen. Bei minimaler Rotation mit   fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius   zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate   bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, weicht das geometrische Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte stark von dem Krümmungsverhalten einer Kugeloberfläche ab.[16][17] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter   gilt.[20] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.[18]

ErgosphäreBearbeiten

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente  . Die Bedingung   führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

 

Diese zwei Flächen können wegen des Terms   unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel   von   bzw.  . Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig[21] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zu konvergiert und bei   mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit   und   wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist   entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente   der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit   mit der inneren Masse   mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt)   ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit   ist.[22][23]

SchattenBearbeiten

Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich, den ein Beobachter an der Stelle sieht, wo sich das Schwarze Loch befindet. Es handelt sich also um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die aufgrund der starken Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Schwarzen Loches immer größer als der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der lichtartigen Geodäten oder auch durch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.[24][25][26][27][28]

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen.   bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters.   und   entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit.   entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

 

mit den beiden Parametern

 
 

die noch vom Kerrparameter und der Position des Beobachters abhängen. Ferner gilt noch die folgende Reihenentwicklung

 
 

mit  , wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von   betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit  . Aus der polaren Ansicht bei   rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel   im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit knapp über  . Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Umfangs- und FlächenformelnBearbeiten

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht  , sondern in axialer Richtung

 

mit dem axialen Radius der Gyration[22][6]

 

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle   mit dem Schwarzschildradius   zusammenfällt.

In polodialer Richtung gilt

 ,

wobei die Funktion   das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Die Oberfläche des Ereignishorizonts ist nicht gleich  , sondern[29]

 

DrehimpulsBearbeiten

Bei   würde eine nackte Singularität auftreten, da bei derartig hohen Drehimpulswerten kein Ereignishorizont existieren kann.[20] Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Kerrparameter von  ).[30] Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen[31] zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt ( ), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic-Censorship-Hypothese).[32] Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem Schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, sodass der Kerrparameter des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei   liegt.[33][34][35]

Bei einem Kerrparameter von   würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.[36][37][38][39]

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Bahn von TestkörpernBearbeiten

Körper, deren Masse so klein ist, dass das zugehörige Gravitationsfeld keinen wesentlichen Anteil zur Raumzeitgeometrie liefert, werden Testkörper genannt. Die kräftefreien Bewegungen dieser Testkörper im Gravitationsfeld des Schwarzen Loches entsprechen in guter Näherung denen von frei fallenden Beobachtern. Die zugehörigen Bahnen können sehr gut mit Hilfe des hamiltonschen Prinzips beschrieben werden. Die Bewegungsgleichungen für Testkörper enthalten als einfachste Erhaltungsgröße bzw. Integrationskonstante die invariante Masse   des Testkörpers. Diese wird über die folgende Gleichung beschrieben:

 

mit   und  .   ist ein affiner Bahnparameter.

Im Fall nichtverschwindender Masse des Testkörpers   ist dieser affine Parameter   mit der Eigenzeit   des Testköpers gemäß   verknüpft, damit   mit den kontravarianten Komponenten des Viererimpulses des Testkörpers übereinstimmt.

Für alle ab hier folgenden Gleichungen wird der metrische Tensor mit Boyer-Lindquist-Koordinaten und die natürlichen Einheiten   verwendet.

Da die Komponenten des metrischen Tensors der Kerr-Metrik nicht explizit von der Zeit und der Koordinate   abhängen, ergeben sich neben der Masse des Testkörpers sofort zwei weitere vergleichsweise leicht zu berechnende Erhaltungsgrößen. So bleibt die Gesamtenergie   des Testkörpers auf einer Bahn um das Schwarze Loch erhalten. Ebenso führt die Rotationssymmetrie der Kerr-Raumzeit zur Erhaltung des Drehimpulses   in Bezug auf die raumartige Symmetrieachse der Kerr-Metrik.[40][8] Diese Symmetrieachse liegt parallel zum Drehimpuls des Schwarzen Loches. Für diese zwei Erhaltungsgrößen gelten mit den obigen Bezeichnungen die zwei folgenden Formeln[8]:

 
 

Brandon Carter zeigte über die Verwendung des Hamilton-Jacobi-Formalismus, dass es für die Bahnen von Testkörpern noch eine weitere, vierte Bewegungskonstante   gibt.[41][28][8] Diese Konstante wird in der Literatur als Carter-Konstante bezeichnet. Sie hängt mit der Energie und dem Drehimpuls des Testkörpers wie folgt zusammen:

 

Die vier Bewegungsgleichungen enthalten insgesamt also vier Integrationskonstanten und sind demnach integrierbar.

Die Bewegungsgleichungen für Testköper können mit Hilfe dieser vier Konstanten und der Verwendung von natürlichen Einheiten   wie folgt angegeben werden.[42][41]

 

mit

 
 
 

Aufgrund des Lense-Thirring-Effektes rotiert ein spezieller Beobachter mit konstantem  , konstantem   und verschwindendem Drehimpuls   mit einer festen Winkelgeschwindigkeit   um das Schwarze Loch. Diese Winkelgeschwindigkeit kann in Abhängigkeit von der Koordinate   berechnet werden.[43] Es gilt:

 

So ein Beobachter wird in der Literatur auch „zero-angular-momentum observer“ oder kurz „ZAMO“ genannt. Siehe dazu auch den Abschnitt Mitbewegte Inertialsysteme weiter unten.

Numerische Berechnung der BahnenBearbeiten

 
Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit  
 
Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von  

Der Einfachheit halber verwendet man für numerische Berechnungen der Bahnen von Testkörpern für massebehaftete Testteilchen anstelle der Masse   einen auf eins normierten Parameter   und für masselose Teilchen wie Photonen  .

Mit den Bezeichnungen von oben gilt:[28]

 
 
 
 

Diese Komponenten werden auch im Hamilton-Formalismus verwendet. Der Punkt über den Variablen steht im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit   und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Dabei ist   die polare  -,   die radiale  - und das konstante   die azimutale  -Komponente.[44]

Da sich die Gleichungen des vorherigen Abschnittes nur bedingt für eine numerische Berechnung der Bahnen von Testkörpern eignen, verwendet man besser Gleichungen, die sich aus dem Hamilton-Formalismus ergeben.[42] Mit den oben angegebenen Abkürzungen und Konstanten erhält man so ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.[28][45]

 
 
 
 
 
 
 
 

mit

 

Längen werden in  , Zeiten in   und der Spinparameter in   gemessen. Die vier Konstanten der Bewegung sind wie bereits erwähnt   und  .[28]

  ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:[41][28][8][42]

 

  ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.[4][8]

Energie und Drehimpuls können auch aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:[22]

 
 

Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit

  mit dem Lorentzfaktor  .

Dabei sind  ,   und   die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit[40]

 

entlang der jeweiligen Achsen, und es ergibt sich[22]

 .

Die lokale Geschwindigkeit   eines Testkörpers wird relativ zu dem korotierenden Beobachter (ZAMO) gemessen.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem stationären ZAMO mit festem   und   und einem stationären Beobachter, der sehr weit vom Schwarzen Loch entfernt ist, berechnet sich gemäß den definierenden Eigenschaften des ZAMO ( ) zu:

 

Mitbewegte InertialsystemeBearbeiten

 
Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts

Das Bezugssystem (frame) eines lokal drehimpulsfreien Beobachters mit  , der in der Literatur auch „zero angular momentum observer“ oder kurz „ZAMO“ genannt wird, rotiert in der Kerr-Raumzeit mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit um die i. A. ebenfalls rotierende Masse im Zentrum der Raumzeit. Dieser Effekt wird auch Frame-dragging-Effekt genannt.[37] Es gilt

 

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht dabei der Ableitung der Winkelkoordinate   nach der Koordinatenzeit   eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters, der sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindet.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.[46][40] So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort   bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit   mitbewegten und auf fixem   sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

 .

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit   ergibt sich damit über

 .

Für einen Testkörper mit   ergibt sich  , d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

KreisbahnenBearbeiten

 
Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von   und  
 
Photonenorbit auf = (1+√2) GM/c² bei einem lokalen Inklinationswinkel von 90°   Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenden axialen Drehimpulses eine Bewegung entlang der  -Achse aus. Das führt dazu, dass von weitem eine Bahnneigung von 61° gemessen wird.
 
Ein rotierendes Schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für   gezeigt.

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich, indem

 

gesetzt und nach   aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

 

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit   ergibt sich daher

 

für den pro- und retrograden Photonenkreisradius in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf[47]

 

Zwischen   und   sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben,[48] kann der zum jeweiligen   und   passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung   wie oben auf 0, der initiale Breitengrad   auf den Äquator gesetzt und nach   aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf   ergibt sich außerdem für alle   ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit   fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf   und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von   würden sich auf   sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit   als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit   ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von   den gleichen lokalen Umfang   einnehmen.[40]

SonstigesBearbeiten

2022 gelang Sergiu Klainerman, Jérémie Szeftel und Elena Giorgi der mathematische Beweis die Stabilität der Kerr-Lösung gegen kleine Störungen bei schwach rotierenden schwarzen Löchern.[49][50][51]

LiteraturBearbeiten

  • Robert Wald: General Relativity. The University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87032-8.
  • Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193.
  • Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
  • David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6.
  • Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott: The Kerr Spacetime. Cambridge UP, 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Roy P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
  2. Masaru Shibata, Misao Sasaki: Innermost stable circular orbits around relativistic rotating stars. (PDF; 220 kB)
  3. Nikolaos Stergioulas: Rotating Stars in Relativity. (PDF; 700 kB) S. 16, Kapitel 2.8, arxiv:gr-qc/0302034.
  4. a b c Christopher M. Hirata: Lecture XXVI: Kerr black holes: I. Metric structure and regularity of particle orbits. (PDF; 104 kB) S. 5.
  5. a b Leonardo Gualtieri, Valeria Ferrari (INFN Rome): The Kerr solution. (PDF) Gleichungen 19.6, 19.7, 19.10 (Boyer-Lindquist), 19.52 (Kerr-Schild).
  6. a b Thomas Raine: Black Holes: A Student Text. S. 80 ff.
  7. a b Luciano Rezzolla, Olindo Zanotti: Relativistic Hydrodynamics. S. 55 bis 57, Gleichungen 1.249 bis 1.265.
  8. a b c d e f g Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. S. 899, 900, 908.
  9. Bhat, Dhurandhar, Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process. S. 94 ff.
  10. Stijn van Tongeren: Rotating Black Holes. (PDF; 1,2 MB) S. 42.
  11. Thibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics. (PDF; 263 kB) S. 11.
  12. a b Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 10–14. (PDF; 321 kB) Gleichungen 32–42 u. 55–56.
  13. a b Serguei Komissarov: Electrodynamics of black hole magnetospheres. S. 20, arxiv:astro-ph/0402403v2.
  14. Andrei u. Valeri Frolov: Rigidly rotating ZAMO surfaces in the Kerr spacetime. (arxiv:1408.6316v1)
  15. Marek Abramowicz: Foundations of Black Hole Accretion Disk Theory. (PDF; 6,3 MB) S. 11 ff., arxiv:1104.5499
  16. a b c d Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 27. (PDF; 321 kB) Formel 116.
  17. a b Larry Smarr: Surface geometry of charged rotating black holes, Physical Review D 7 (1973) S. 269–295, https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.7.289
  18. a b Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 35. (PDF; 321 kB) Fig. 3.
  19. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. (PDF; 227 kB)
  20. a b Gerald Marsh: The infinite red-shift surfaces of the Kerr solution. (PDF; 965 kB) S. 7. arxiv:gr-qc/0702114.
  21. Katherine Blundell: Black Holes: A Very Short Introduction. S. 31.
  22. a b c d Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes. (PDF; 583 kB) S. 5 ff.
  23. Daniel Brennan: Energy Extraction from Black Holes. (PDF; 2,0 MB) S. 17.
  24. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. (12), (13).
  25. Claudio Paganini, Blazej Ruba, Marius Oancea: Null Geodesics on Kerr Spacetimes. (PDF; 4,7 MB) arxiv:1611.06927
  26. Naoki Tsukamoto: Kerr-Newman and rotating regular black hole shadows in flat spacetime. (PDF; 372 kB) arxiv:1708.07427
  27. Grenzebach, Perlick, Lämmerzahl: Photon Regions and Shadows of Kerr–Newman–NUT Black Holes. (PDF; 3,9 MB) arxiv:1403.5234
  28. a b c d e f Hung-Yi Pu, Kiyun Yun, Ziri Younsi, Suk Jin Yoon: A public GPU-based code for general-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime. (PDF; 8,9 MB) S. 2 ff., arxiv:1601.02063
  29. Mike Guidry: Rotating Black Holes. (PDF) Kapitel 13, S. 9.
  30. Kip Thorne: Disk-Accretion onto a Black Hole. II. Evolution of the Hole. Astrophysical Journal, Band 191, 1974, S. 507–520, bibcode:1974ApJ...191..507T
  31. Berti u. a: Cross section, final spin and zoom-whirl behavior in high-energy black hole collisions. In: Phys. Rev. Lett., Band 103, 2009, S. 131102, arxiv:0907.1252.
  32. Orlando Luongo, Hernando Quevedo: Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues. (PDF; 253 kB)
  33. Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes. (PDF) S. 2, S. 10, S. 11.
  34. William Wheaton: Rotation Speed of a Black Hole.
  35. Roy Kerr: Spinning Black Holes. (Youtube, Zeitstempel 36:47.) Crafoord Prize Symposium in Astronomy.
  36. Supermassive Black Hole Spins Super-Fast. Harvard Smithsonian Center for Astrophysics
  37. a b Ignazio Ciufolini: Dragging of inertial frames. doi:10.1038/nature06071.
  38. NuSTAR Sees Rare Blurring of Black Hole Light. NASA
  39. Jeremy Hsu: Black Holes Spin Near Speed of Light.
  40. a b c d James Bardeen: Rotating Black Holes: LNRFs. In: The Astrophysical Journal. 1. Dez. 1972, bibcode:1972ApJ...178..347B. Gleichungen (2.9), (PDF) (3.2), (PDF) (3.9), (PDF) Abschnitt III. (PDF)
  41. a b c Brandon Carter: Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields. In: Physical Review. Band 174, Nr. 5, 25. Oktober 1968.
  42. a b c Janna Levin, Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits. (PDF; 2,6 MB) S. 32 ff., arxiv:0802.0459.
  43. Andrei V. Frolov, Valeri P. Frolov: Rigidly rotating zero-angular-momentum observer surfaces in the Kerr spacetime. In: Physical Review D. 90, Nr. 12, 2014, S. 124010. arxiv:1408.6316. bibcode:2014PhRvD..90l4010F. doi:10.1103/PhysRevD.90.124010.
  44. Hakan Cebeci, Nülifer Özdemir: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions. (PDF; 959 kB)
  45. Steven Fuerst, Kinwah Wu: Radiation Transfer of Emission Lines in Curved Space-Time. (PDF; 375 kB) S. 4 ff., arxiv:astro-ph/0406401
  46. Andreas Müller: Lexikon der Astronomie, Abschnitt ZAMO. u. Abschnitt Tetrad.
  47. Edward Teo: Spherical Photon Orbits Around A Kerr Black Hole.
  48. Leo C. Stein: Kerr Spherical Photon Orbits.
  49. Giorgi, Klainerman, Szeftel, Wave equations estimates and the nonlinear stability of slowly rotating Kerr black holes, Arxiv 2022
  50. Klainerman, Szeftel, Kerr stability for small angular momentum, Arxiv 2021
  51. Steve Nadis, At Long Last, Mathematical Proof That Black Holes Are Stable, Quanta Magazine, 4. August 2022