Simpliziales Volumen

in der Mathematik eine Homotopieinvariante geschlossener Mannigfaltigkeiten, die von Gromow in seinem Beweis der Mostow-Starrheit eingeführt wurde
(Weitergeleitet von Gromov-Norm)

In der Mathematik ist simpliziales Volumen eine Homotopieinvariante geschlossener Mannigfaltigkeiten, die von Gromow in seinem Beweis der Mostow-Starrheit eingeführt wurde. Intuitiv misst das simpliziale Volumen, wie schwierig es ist, die Mannigfaltigkeit durch Simplizes (mit reellen Koeffizienten) darzustellen.[1]

Definition

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Sei   eine orientierte, zusammenhängende, geschlossene,  -dimensionale Mannigfaltigkeit.

Sei   die  -Norm auf dem singuläre Kettenkomplex   mit reellen Koeffizienten gegeben durch

 

für   mit   und singulären Simplizes  .

Weiter bezeichne   die  -Halbnorm für die singuläre Homologie   mit reellen Koeffizienten, die durch   induziert wird. Das heißt, für   ist

 

(Diese Halbnorm auf der Homologie wird als Gromov-Norm bezeichnet.)

Dann wird das simpliziale Volumen von   definiert als

 .

Dabei ist   die Fundamentalklasse von   mit reellen Koeffizienten.

Für eine nicht-orientierbare, zusammenhängende, geschlossene,  -dimensionale Mannigfaltigkeit   definiert man  , wobei   die orientierbare 2-fache Überlagerung bezeichnet.

Für eine unzusammenhängende, geschlossene,  -dimensionale Mannigfaltigkeit   definiert man  , wobei   die Zusammenhangskomponenten von   sind.

Funktorialität und elementare Beispiele

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Die  -Seminorm ist im folgenden Sinne funktoriell:

Wenn   eine stetige Abbildung von topologischen Räumen und   ist, dann gilt

 

wie aus der Definition von   und von   hervorgeht.

Daraus ergeben sich als Folgerungen:

  • Sei   eine Abbildung von orientierten geschlossenen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten derselben Dimension. Dann
 
  • Da Homotopieäquivalenzen von orientierten geschlossenen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten den Abbildungsgrad −1 oder 1 haben, folgt daraus, dass das simpliziale Volumen tatsächlich eine Homotopie-Invariante von orientierten geschlossenen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten ist.

Daher haben alle orientierten geschlossenen Mannigfaltigkeiten, die eine Selbstabbildung von nichttrivialem Abbildungsgrad zulassen (d. h. nicht gleich −1, 0 oder 1), ein verschwindendes simpliziales Volumen; zum Beispiel das simpliziale Volumen von allen

ist Null.

Berechnungen

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In den meisten Fällen erweist sich der Versuch, das simpliziale Volumen durch direkte Anwendung der Definition zu berechnen, als zwecklos. Die beiden Hauptquellen für nichttriviale Abschätzungen und Vererbungseigenschaften des simplizialen Volumens sind:

Simpliziales Volumen und Riemannsche Geometrie

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Das simpliziale Volumen ist eine Homotopieinvariante, die nichttriviale Informationen über das Riemannsche Volumen codiert. Das grundlegendste Ergebnis dieses Typs ist Gromovs Ungleichung und die daraus resultierende untere Abschätzung des minimalen Volumens durch das simpliziale Volumen (verbessert von Besson-Courtois-Gallot):

Für alle geschlossenen Riemannschen  -Manigfaltigkeiten  , deren Ricci-Krümmung von unten durch   beschränkt ist, gilt

 

Für alle geschlossenen glatten  -Mannigfaltigkeiten   gilt

 

Dabei ist das minimale Volumen einer glatten Mannigfaltigkeit   definiert als

 

Hierbei bezeichnet   die Schnittkrümmung der vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit  .

Umgekehrt wird bei negativer Krümmung das simpliziale Volumen von unten durch das Riemannsche Volumen abgeschätzt:

  • Das simpliziale Volumen einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung ist ungleich Null. Genauer gesagt: Für jedes   gibt es eine Konstante  , so dass Folgendes gilt: Wenn   eine geschlossene Riemannsche  -Mannigfaltigkeit ist, deren Schnittkrümmung von oben durch   begrenzt wird, dann ist  
  • Sei   eine geschlossene hyperbolische  -Mannigfaltigkeit. Dann  , wobei   das Supremum der Volumina aller geodätischen  -Simplizes im hyperbolischen  -Raum ist (  ist endlich nach einem Satz von Haagerup-Munkholm).

Der Beweis der unteren Schranke   erfolgt durch „Straffziehen“ von Fundamentalzykeln zu Zykeln, welche nur aus solchen singulären Simplizes bestehen, deren Hebungen zur Riemannschen universellen Überlagerung geodätisch sind.

Wegen   bekommt man für eine orientierte geschlossene zusammenhängende Fläche   vom Geschlecht  

 .

Verallgemeinerungen dieses Satzes sind:

  • das Proportionalitätsprinzip für das simpliziale Volumen;
  • das Nicht-Verschwinden des simplizialen Volumens geschlossener lokal symmetrischer Räume von nichtkompaktem Typ (von Lafont-Schmidt erhalten durch eine Kombination eines verallgemeinerten „Straffziehens“ unter Verwendung von Abschätzungen von Connell und Farb und dem Proportionalitätsprinzip);
  • nicht-verschwindendes simpliziales Volumen für bestimmte Mannigfaltigkeiten mit negativ gekrümmter Fundamentalgruppe;
  • die Konstruktion von (asphärischen) geschlossenen Mannigfaltigkeiten mit simplizialem Volumen ungleich Null über (relative) Hyperbolisierungstechniken.

Simpliziales Volumen und beschränkte Kohomologie

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Ein algebraischerer Ansatz für das simpliziale Volumen basiert auf der folgenden Beobachtung:

Sei   ein topologischer Raum, sei   und sei  . Dann gilt

 
 

Für eine orientierte geschlossene  -Mannigfaltigkeit   gilt dann:

 ,

wobei   die Kohomologieklasse bezeichnet, die zur Fundamentalklasse von   dual ist.

Im Kontext des simplizialen Volumens trug die beschränkte Kohomologie dazu bei, Verschwindendungssätze bei mittelbaren Fundamentalgruppen, Nichtverschwindendungssätze bei negativer Krümmung und Vererbungseigenschaften in Bezug auf Produkte, zusammenhängende Summen und gemeinsame riemannsche Überlagerungen zu beweisen.

Vererbungseigenschaften

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Endliche Überlagerungen

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Das simpliziale Volumen ist multiplikativ in Bezug auf endliche Überlagerungen:

Sei   eine Überlagerungsabbildung geschlossener Mannigfaltigkeiten, und sei   die endliche Anzahl von Blättern von  . Dann gilt

 

Produkte

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Das simpliziale Volumen ist in Bezug auf direkte Produkte von Mannigfaltigkeiten nahezu multiplikativ:

Seien   und   geschlossene Mannigfaltigkeiten. Dann gilt

 

Ein Beweis für die obere Abschätzung kann gegeben werden, indem die konkrete Beschreibung von   mittels des Kreuzprodukts singulärer Ketten. Die untere Abschätzung kann unter Verwendung des Dualitätsprinzips und der Tatsache bewiesen werden, dass die Norm   submultiplikativ für das Kreuzprodukt beschränkter singulärer Koketten ist.

Das simpliziale Volumen ist im Allgemeinen nicht multiplikativ: Bucher-Karlsson hat bewiesen, dass   gilt für alle geschlossenen Flächen  ,   des Geschlechts mindestens 2.

Zusammenhängende Summen

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Das simpliziale Volumen ist für zusammenhängende Summen im folgenden Sinne additiv:

  und   seien geschlossene Mannigfaltigkeiten derselben Dimension mindestens 3. Dann gilt

 

Der Beweis beruht auf dem Abbildungssatz in der beschränkten Kohomologie und einer sorgfältigen Analyse sogenannter baumartiger Komplexe. Wenn man diese Argumente verallgemeinert, kann man sehen, dass auch die Additivität für das simpliziale Volumen in Bezug auf bestimmte "mittelbare" Verklebungen gilt.

Das simpliziale Volumen ist im Allgemeinen für zusammenhängende Summen in Dimension 2 nicht additiv: das simpliziale Volumen des Torus ist Null, aber das simpliziale Volumen einer orientierten geschlossenen Fläche vom Geschlecht 2 ist ungleich Null.

Faserbündel

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  • In sehr niedrigen Dimensionen besteht ein Zusammenhang zwischen dem einfachen Volumen des Totalraums eines Faserbündels (mit geschlossenen Mannigfaltigkeiten als Basisraum und Faser) und dem Produkt der simplizialen Volumina von Basis und Faser.
  • Im Allgemeinen hängt das simpliziale Volumen des Totalraums eines Faserbündels jedoch nicht in offensichtlicher Weise mit dem simplizialen Volumen von Basis und Faser zusammen: Es gibt orientierte geschlossene hyperbolisch  -Mannigfaltigkeiten gefasert über dem Kreis. Der Kreis hat jedoch ein simpliziales Volumen gleich Null, während das simpliziale Volumen der fraglichen hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit ungleich Null ist.
  • Totalräume von Faserbündeln mit mittelbaren Fasern haben verschwindendes simpliziales Volumen.

Weiterhin hat jede geschlossene Mannigfaltigkeit, die eine nichttriviale  -Wirkung zulässt, ein verschwindendes simpliziales Volumen.

Proportionalitätsprinzip

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Bei hyperbolischen Mannigfaltigkeiten ist das simpliziale Volumen proportional zum Riemannschen Volumen. Gromov und Thurston fanden ein allgemeineres Proportionalitätsprinzip, das für alle Riemannschen Mannigfaltigkeiten gilt:

  und   seien geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit isometrischen Riemannschen universellen Überlagerungen. Dann

 

Sowohl Gromovs als auch Thurstons Beweis für dieses Ergebnis verwenden einen Mittelungsprozess.

  • Gromovs Strategie verwendet das Dualitätsprinzip und über die Isometriegruppe der Riemannschen universellen Überlagerung gemittelte (beschränkte) stetige singuläre Koketten. Dies erfordert eine sorgfältige Analyse der Beziehung zwischen (beschränkter) stetiger singulärer Kohomologie und (beschränkter) singulärer Kohomologie.
  • Thurstons Strategie ersetzt die singuläre Homologie durch die Maßhomologie und die über die Isometriegruppe der Riemannschen universellen Überlagerung „verschmierten“ Maßketten. Dies erfordert eine sorgfältige Analyse der Beziehung zwischen Maßhomologie und singulärer Homologie.

Simpliziales Volumen und die Fundamentalgruppe

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In Anbetracht des Dualitätsprinzips kann das simpliziale Volumen in beschränkter Kohomologie interpretiert werden. Der Schlüssel zur Ableitung interessanter Konsequenzen ist die durch den folgenden Abbildungssatz gegebene Beziehung der beschränkten Kohomologie zur Fundamentalgruppe und das Verhältnis der beschränkten Kohomologie zur geometrischen Gruppentheorie.

Abbildungssatz der beschränkten Kohomologie

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Eines der grundlegendsten Merkmale der beschränkten Kohomologie ist, dass sie in den Homotopiegruppen eines Raums mittelbare Untergruppen nicht erkennen kann:

Sei   eine (basispunkterhaltende) stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden abzählbaren CW-Komplexen, so dass   surjektiv ist und mittelbaren Kern hat.

  • Dann ist der induzierte Homomorphismus   in beschränkter Kohomologie ein isometrischer Isomorphismus.
  • Insbesondere ist der Homomorphismus   isometrisch für die  -Seminorm  . (Im Allgemeinen sagt dies nichts über die Injektivität / Surjektivität von   aus.)

Zu beachten ist, dass das simpliziale Volumen nicht nur von der Fundamentalgruppe   abhängt, sondern auch von der klassifizierenden Abbildung  . Zum Beispiel erfüllt jede geschlossene hyperbolische Mannigfaltigkeit  

 .

Wenn   eine orientierte geschlossene  -Mannigfaltigkeit ist, deren Fundamentalgruppe (rationale) kohomologische Dimension kleiner   hat, dann ist  .

Mittelbarkeit und Verschwindungssätze

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Direkte Konsequenzen des Abbildungssatzes der beschränkten Kohomologie sind:

  • Das simpliziale Volumen von orientierten geschlossenen Mannigfaltigkeiten mit mittelbarer Fundamentalgruppe ist Null.
  • Dies schließt insbesondere den Fall trivialer, abelscher, auflösbarer und nilpotenter Fundamentalgruppen ein.
  • Sei eine geschlossene Mannigfaltigkeit   Totalraum einer Faserung, deren Basis und Faser geschlossene Mannigfaltigkeiten (positiver Dimension) sind, so dass die Fundamentalgruppe der Faser mittelbar ist. Dann ist  .

Allgemeiner: Ein stärkerer Verschwindungssatz für die Vergleichsabbildung   für Räume mit mittelbaren Überdeckungen geringer Vielfachheit führt zu folgender Aussage: Wenn   eine geschlossene  -Mannigfaltigkeit ist, die eine Überdeckung der Vielfachheit höchstens   durch mittelbare offene Teilmengen zulässt, dann  .

Hyperbolizität und Nicht-Verschwinden des simplizialen Volumens

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Das Nicht-Verschwinden des simplizialen Volumens von Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung zusammen mit dem Dualitätsprinzip impliziert, dass die kohomologische Fundamentalklasse einer solchen Mannigfaltigkeit im Bild der Vergleichsabbildung   liegt. Allgemeiner zeigte Mineyev, dass es (im Fall von rational wesentlichen Mannigfaltigkeiten) genügt, Hyperbolizität der Fundamentalgruppe anzunehmen:

Sei   eine endlich präsentierte Gruppe. Dann sind äquivalent:

  • Die Gruppe   ist wort-hyperbolisch.
  • Die Vergleichsabbildung   ist surjektiv für alle   und alle Banach- -Moduln  .

Sei   eine geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension mindestens 2, die rational wesentlich ist (z. B. asphärisch). Wenn die Fundamentalgruppe von   wort-hyperbolisch ist, dann folgt  .

Variationen des simplizialen Volumens

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Simpliziales Volumen von Mannigfaltigkeiten mit Rand

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Für orientierte zusammenhängende kompakte  -Mannigfaltigkeit mit Rand   wird das relative simpliziale Volumen   als  -Seminorm der relativen Fundamentalklasse   in der relativen singulären Homologie   definiert. Die Ausweitung des simplizialen Volumens auf Mannigfaltigkeiten mit Rand spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten.

Simpliziales Volumen nicht-kompakter Mannigfaltigkeiten

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Nicht-kompakte, orientierte, zusammenhängende Mannigfaltigkeiten haben eine Fundamentalklasse in der lokal endlichen Homologie. Man verwendet dann die (möglicherweise unendliche)  -Seminorm für lokal endliche Homologie mit reellen Koeffizienten. Es gibt zwei Hauptvarianten des simplizialen Volumens nicht-kompakter Mannigfaltigkeiten – eine topologische und eine geometrische, wo den Fundamentalzyklen eine Lipschitz-Bedingung auferlegt wird:

  • Topologische Version: Sei   eine orientierte zusammenhängende  -Mannigfaltigkeit ohne Rand und sei   ihre lokal endliche Fundamentalklasse (mit reellen Koeffizienten). Dann wird das simpliziale Volumen   definiert als die  -Seminorm von  .
    • Für alle eigentlichen stetigen Abbildungen   zwischen orientierten zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten ohne Rand derselben Dimension gilt die Ungleichung  
    • Das simpliziale Volumen nicht-kompakter Mannigfaltigkeiten kann unendlich sein, z. B.  . Insbesondere wenn   eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ist, dann stimmen im Allgemeinen das simpliziale Volumen des Innenraums   und das relative simpliziale Volumen von   (was immer endlich ist) nicht überein. Die Endlichkeit von   kann durch  -Homologie charakterisiert werden.
    • Das simpliziale Volumen nicht-kompakter Mannigfaltigkeiten verschwindet jedoch für viele interessante Mannigfaltigkeiten, und es verhält sich nicht gut in Bezug auf die Bildung von Produkten: zum Beispiel  , aber  .
  • Geometrische Version: Sei   eine orientierte zusammenhängende Riemannsche  -Mannigfaltigkeit. Dann wird das Lipschitz-simpliziale Volumen von   definiert durch
 
Dabei ist   das Supremum der Lipschitz-Konstanten aller in   vorkommenden singulären Simplizes.
  • Das Lipschitz-simpliziale Volumen ist funktoriell für eigentliche Lipschitz-Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten derselben Dimension. Eine Anwendung des Lipschitz-simplizialen Volumens sind Gradsätze für eigentliche Lipschitz-Abbildungen zwischen nicht-kompakten Mannigfaltigkeiten.
  • Das Lipschitz-simpliziale Volumen ist (bis auf eine Dimensionskonstante) eine untere Schranke für das minimale Volumen.
  • Das Lipschitz-simpliziale Volumen lokal symmetrischer Räume endlichen Volumens und nicht kompakten Typs ist ungleich Null.
  • Das Lipschitz-simpliziale Volumen der Hilbertschen Modulflächen stimmt mit ihrem simplizialen Volumen überein.
  • Das Lipschitz-simpliziale Volumen verhält sich in Bezug auf die Bildung von Produkten besser als das topologisch definierte simpliziale Volumen, und es gibt eine Version des Proportionalitätsprinzips für das Lipschitz-simpliziale Volumen.

Anwendungen

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Typischerweise wird das simpliziale Volumen als Werkzeug verwendet, um topologische Starrheitseigenschaften des Riemannschen Volumens oder das Nicht-Verschwinden des minimalen Volumens bestimmter Mannigfaltigkeiten festzustellen. Zwei herausragende Beispiele sind Gromovs Beweis der Mostow-Starrheit und Sätze über den Abbildungsgrad.

Mostow-Starrheit

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Hyperbolische Mannigfaltigkeiten werden vollständig durch ihren Homotopietyp bestimmt, d. h. hyperbolische Mannigfaltigkeiten sind im folgenden Sinne "starr":

Seien   und   geschlossene hyperbolische Mannigfaltigkeiten der gleichen Dimension  . Wenn   eine Homotopieäquivalenz ist, gibt es eine Isometrie   homotop zu  . Insbesondere kann eine geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension mindestens 3 höchstens eine hyperbolische Struktur besitzen.

Ein entscheidender Schritt in Gromovs Beweis der Mostow-Starrheit besteht darin, zu zeigen, dass zwei homotopie-äquivalente geschlossene hyperbolische Mannigfaltigkeiten das gleiche Volumen haben. Gromov führte in diesem Zusammenhang das simpliziale Volumen ein, da es eine elegante Möglichkeit bietet, diese Tatsache (unter Verwendung der Beziehung des simplizialen Volumens zum hyperbolischen Volumen und der Homotopie-Invarianz des simplizialen Volumens) zu beweisen.

Gradsätze

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Ein Gradsatz ist ein Satz der folgenden Form:

  und   seien bestimmte geeignete Klassen von Riemannschen Mannigfaltigkeiten derselben Dimension – die Domänenmannigfaltigkeiten und die Zielmannigfaltigkeiten. Dann gibt es eine Konstante   mit der folgenden Eigenschaft: Für alle  , alle   und alle stetigen Abbildungen   haben wir

 

Die Kunst besteht darin, geeignete Klassen von Domänen- und Zielverteilern zu finden. Die Funktorialität des simplizialen Volumens und die Beziehung zwischen dem Riemannschen Volumen geschlossener hyperbolischer Mannigfaltigkeiten und dem simplizialen Volumen ergeben zusammen einen Gradsatz für hyperbolische Mannigfaltigkeiten:

  und   seien orientierte geschlossene zusammenhängende hyperbolische Mannigfaltigkeiten derselben Dimension. Dann gilt

 

für jede stetige Abbildung  .

In ähnlicher Weise führen Nichtverschwindungssätze für das simpliziale Volumen zusammen mit Gromovs Abschätzung des minimalen Volumens durch das simpliziale Volumen zu allgemeineren Gradsätzen. Entsprechende Ergebnisse für das Lipschitz-simpliziale Volumen nichtkompakter Riemannscher Mannigfaltigkeiten führen zu Gradsätzen für eigentliche Lipschitz-stetige Abbildungen zwischen bestimmten nichtkompakten Mannigfaltigkeiten.

Dehn-Füllungen und hyperbolisches Volumen

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Unter Verwendung der Beziehung zwischen dem simplizialen Volumen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten und dem hyperbolischen Volumen (eine verallgemeinerte Version, die auch nichtkompakte Mannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten mit Rand abdeckt) bewies Thurston, dass hyperbolische Dehn-Füllungen vollständiger hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens das hyperbolische Volumen verringern.

Erkennen von Graphmannigfaltigkeiten

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Das simpliziale Volumen erkennt Graphmannigfaltigkeiten:

  • Die Verklebeformel für Verklebungen entlang Tori, die Proportionalität des simplizialen Volumens hyperbolischer Mannigfaltigkeiten zum Riemannschen Volumen und das Verschwinden des simplizialen Volumens von Seifert-Faserungen zeigt, dass das simpliziale Volumen einer 3-Mannigfaltigkeit (möglicherweise mit Rand), die eine geometrische Zerlegung besitzt, proportional zur Summe der Volumina der hyperbolischen Stücke in der Zerlegung ist. Daher ist eine 3-Mannigfaltigkeit, die eine geometrische Zerlegung besitzt, genau dann eine Graph-Mannigfaltigkeit, wenn ihr simpliziales Volumen Null ist. (Zusammen mit Perelmans Geometrisierungsbeweis für 3-Mannigfaltigkeiten bedeutet dies, dass eine irreduzible 3-Mannigfaltigkeit genau dann eine Graphmannigfaltigkeit ist, wenn ihr simpliziales Volumen Null ist.)
  • In einem ähnlichen Sinne kann man Folgendes zeigen: Sei   eine Haken-Mannigfaltigkeit, deren Rand eine Vereinigung von Tori ist, so dass jede durch Dehn-Füllungen erhaltene Mannigfaltigkeit verschwindendes simpliziales Volumen hat. Dann ist   eine Graphmannigfaltigkeit. Dieses Ergebnis wird in einem alternativen Beweis des letzten Schritts in Perelmans Beweis der Geometrisierungsvermutung für asphärische 3-Mannigfaltigkeiten verwendet.

Eine Vermutung über das simpliziale Volumen von Knotenkomplementen

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H. Murakami und J. Murakami vermuteten, ähnlich wie die Volumenvermutung für Knoten, dass das simpliziale Volumen eines Knotenkomplements mit der asymptotischen Wachstumsrate des gefärbten Jones-Polynoms des fraglichen Knotens in Beziehung stehen sollte. Wenn diese Vermutung zutrifft, können Invarianten endlichen Typs (Vassiliev-Invarianten) die Trivialität eines Knotens erkennen.

Literatur

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  • M. L. Gromov: Volume and bounded cohomology. Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 56, 5–99 (1982).
  • Roberto Frigerio: Bounded cohomology of discrete groups. Mathematical Surveys and Monographs 227. Providence, RI: American Mathematical Society (2017).
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Einzelnachweise

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  1. C. Löh, op.cit. (dient auch als Quelle für den Rest des Artikels)