In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion

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Sei   ein reell quadratischer Zahlkörper, also   für eine quadratfreie natürliche Zahl  .

Sei   der Ganzheitsring von  , also   mit   falls   kongruent 2 oder 3 mod 4 und   falls   kongruent 1 mod 4.

Seien   die Einbettungen von  , also

  für alle  .

Die Abbildungen   definieren Einbettungen  .

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von   unter der Einbettung

 .

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach   wirkt   dann auf  , dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn   eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum   Hilbertsche Modulfläche und   Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe   torsionsfrei ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche   ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen

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Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier.[1]

Zahlentheorie

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Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers  . Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von  .[2] Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist  , wobei   die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers   bezeichnet.[3]

  1. Hirzebruch, Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces, in: W. L. Baily, T. Shioda (Hrsg.): Complex analysis and algebraic geometry, Cambridge University Press, 1977, S. 43–77, Online. (PDF; 1,4 MB)
  2. Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2
  3. Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2