Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.[1] Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.[1][2][3]

Formulierung

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Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:[4][5][6]

Gegeben seien eine endliche Menge   und weiter eine Primzahl  , eine natürliche Zahl   sowie eine endliche Gruppe   der Ordnung  .[A 1]
Dabei soll   vermöge der äußeren Operation   auf   operieren.[A 2]
Dann gelten folgende Aussagen:
(i)  [A 3][A 4]
(ii) Insbesondere existiert, wenn   und   teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Allgemeine Formel

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Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:[4][6]

Gegeben seien eine Menge   und eine Gruppe  , die vermöge   auf   operieren soll.
Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem   für die durch die Bahnen auf   gegebenen Partition.
Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel
 .[A 5][A 6][A 7][A 8][A 9]

Folgerungen

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Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

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Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:[7][8]

Gegeben seien eine Primzahl   und dazu eine endliche p-Gruppe   mit zugehörigem Zentrum  .
Dann gilt:
(i) Besteht ein Normalteiler   nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt   nicht aus dem neutralen Element allein.
(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe   im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum  .

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

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Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:[9]

Jede endliche p-Gruppe   der Ordnung   (  prim,  ) hat einen Normalteiler   der Ordnung   .

Literatur

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Anmerkungen

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  1. Mit   bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge  . Ist   eine endliche Menge, so ist   die Anzahl der in   enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
  2. Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich  , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß  .
  3. Die Teilmenge   besteht aus genau den Elementen   mit   für alle  . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
  4. Mit   wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
  5. Für ein   ist dabei   der zugehörige Stabilisator und   sein Index in  .
  6. Ein   ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn   bzw.   gilt.
  7. Die Summationsbedingung   wird möglicherweise von keinem   erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert  .
  8. Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
  9. Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

Einzelnachweise

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  1. a b Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
  2. Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
  3. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
  4. a b Meyberg, op. cit., S. 67
  5. Stroth, op. cit., S. 5
  6. a b Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
  7. Stroth, op. cit., S. 6
  8. Meyberg, op. cit., S. 68
  9. Meyberg, op. cit., S. 74–75