Das Lokal-Global-Prinzip der kommutativen Algebra ist eine Methode, Aussagen über kommutative Ringe mit Einselement oder ihre Moduln auf entsprechende Aussagen über lokale Ringe zurückzuführen, wo der Beweis auf Grund der spezielleren Situation oft einfacher ist.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Grundidee

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Es sei   ein  -Modul über einem kommutativen Ring   mit Einselement. Ist   eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge, die das Einselement enthält, so kann man zur sogenannten Lokalisierung   übergehen und auch zum lokalisierten  -Modul  . Auch Modulhomomorphismen   lokalisieren zu  .

In den hier zu besprechenden Anwendungen ist   das Komplement eines Primideals, sogar eines maximalen Ideals. Ist   ein Primideal, so schreibt man kürzer  ,   und   statt  ,   bzw.  .

Manche Aussagen der kommutativen Algebra behaupten das Verschwinden eines Moduls oder sind äquivalent dazu oder lassen sich darauf zurückführen. Dafür gilt nun (siehe auch Träger eines Moduls):

  • Ein Untermodul   eines  -Moduls ist genau dann der Nullmodul, wenn   für alle maximalen Ideale   der Nullmodul ist.

Man muss das gewünschte Verschwinden des Untermoduls also nur lokal (bei jedem maximalen Ideal) zeigen und kann dann auf Grund dieses Satzes auf die globale Gleichheit   schließen. Man spricht daher von einer Lokal-Global-Aussage oder vom Übergang vom Lokalen zum Globalen.

Da die Lokalisierungen nach Primidealen lokale Ringe sind, diese definitionsgemäß ein eindeutiges maximales Ideal haben und der Quotientenring nach diesem Ideal ein Körper ist, kann man oft zu Moduln über einem Körper, das heißt zu Vektorräumen, übergehen.

Weitere einfache Lokal-Global-Aussagen

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  • Zwei Untermoduln   eines  -Moduls sind genau dann gleich, wenn   für alle maximalen Ideale  .
  • Eine Sequenz
 
von  -Moduln ist genau dann exakt, wenn die Sequenzen
 
von  -Moduln für alle maximalen Ideale   exakt sind.
  • Ein  -Modulhomomorphismus   ist genau dann injektiv (surjektiv, bijektiv), wenn die lokalisierten  -Modulhomomorphismen   für jedes maximale Ideal   injektiv (surjektiv, bijektiv) sind.

Diese Aussagen ergeben sich leicht aus der oben genannten Aussage über den Nullmodul. Die Gleichheit   führt man auf das Verschwinden von   und   und die Verträglichkeit zwischen Lokalisierung und Quotientenbildung zurück. Die Exaktheitsaussage behauptet die Gleichheit zweier Untermoduln und Injektivität und Surjektivität können als Exaktheit gewisser Sequenzen ausgedrückt werden.[1]

Lokal-Global-Aussagen mit zusätzlichen Voraussetzungen

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Komplexere Lokal-Global-Aussagen benötigen weitere Zusatzvoraussetzungen.

 
von  -Moduln gegeben und sei   endlich präsentierbar. Dann zerfällt obige Sequenz genau dann, wenn die kurzen exakten Sequenzen
 
von  -Moduln für alle maximalen Ideale   zerfallen.

Daraus ergibt sich leicht

  • Sei   ein endlich präsentierbarer  -Modul. Dann ist ein Untermodul   genau dann direkter Summand in  , wenn er lokal direkter Summand ist, das heißt wenn   für jedes maximale Ideal   ein direkter Summand in   ist.

Einen  -Modul   kann man zu einem Modul über dem Polynomring   erweitern, indem man definiert

 .

Man nennt einen  -Modul   erweitert, wenn es einen  -Modul   gibt, so dass  . Hierfür gilt die folgende auf Daniel Quillen zurückgehende Lokal-Global-Aussage:

  • Sei   ein endlich präsentierbarer  -Modul. Der Modul   ist genau dann erweitert, wenn er lokal erweitert ist, das heißt, wenn für jedes maximale Ideal   gilt, dass   ein erweiterter  -Modul ist.

Dies ist ein wesentlicher Bestandteil von Quillens Lösung des Serre-Problems.[2] Die zuletzt genannte Lokal-Global-Aussage nennt man manchmal auch Quillens Lokal-Global-Prinzip.[3]

Einzelnachweise

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  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Regel IV.1.1, Korollar IV.1.5, Korollar IV.1.6
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Regel IV.1.12, Korollar IV.1.3, Satz IV.1.20
  3. Rabeya Basu, Ravi A. Rao, Reema Khanna: On Quillen's Local-Global-Principle, Contemporary Mathematics (2005), ISBN 0-8218-3629-3, Band 390, Seiten 17–30