G E O R D N E T E S   P A A R

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Geordnete Paare stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt, sie sind die Basisbausteine vieler mathematischer Objekte (siehe unten Kapitel Verwendung geordneter Paare). Ein geordnetes Paar, auch 2-Tupel genannt, besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte, wobei eines der beiden ausgezeichnet ist, dieses wird seine linke, erste oder vordere Komponente genannt, das andere seine rechte, zweite oder hintere. Notiert wird ein geordnetes Paar, indem man seine Komponenten, von einem Komma getrennt, hintereinander schreibt, die linke zuerst, und das Ganze in ein geeignetes Klammerpaar, meist dem runden, einschließt.  Mit den Projektionsoperatoren[1]   , erhält man die linke respektive rechte Komponente eines geordneter Paars:      für  .

Gleichheit geordneter Paare

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Der Begriff des geordneten Paars ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert:  Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind [2],   formal:    .

Darstellung geordneter Paare als Mengen

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In der Literatur finden sich unter anderen für das geordnete Paar   folgende Darstellungen als Mengen:

  •    zum Tupel-Begriff generalisierbare Darstellung[3]
  •    (nach Norbert Wiener (1914)[4])
  •    (nach Kazimierz Kuratowski (1921)[5]) gängigste Darstellung. Eine Variante gibt die Definition  
  •     so genannte kurze Darstellung
  •    wobei   und   voneinander verschiedene Objekte sind, beide auch verschieden von   und     (nach Felix Hausdorff (1914)[6])
  •    (nach Jürgen Schmidt (1966)[7] in Anlehnung an Quine)   können hier auch echte Klassen sein.

Verwendung geordneter Paare

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Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden

Einzelnachweise

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  1. Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wiss.-Verl., Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.
  2. Giuseppe Peano: Logique Mathématique (1897), Formel 71, in: Opere scelte II 224, oben verbalisiert
  3. Encyclopaedia of Mathematics: tuple
  4. Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel. Harvard University Press, Cambridge/London 2002, ISBN 0-674-32449-8, S. 224ff.
  5. Kazimierz Kuratowski: Sur la notion de l‘ordere dans la Théorie des Ensembles. in: Fundamenta Mathematica II (1921), S. 171.
  6. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 32–33.
  7. Jürgen Schmidt: Mengenlehre. Band 1: Grundbegriffe, Seite 95f. B I Hochschultaschenbücher, ASIN B0000BUJC6.
   


T U P E L

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Tupel sind endliche Listen, in denen hintereinander mathematische Objekte angegeben sind. Ist   die Länge so einer Liste, dann spricht man von einem  -Tupel und notiert es so:  , wenn  =0, andernfalls:   oder  , auch mit anderen Klammern, wobei   seine i-te Komponente (an i-ter Stelle angegebene Objekt) ist. Formal sind Tupel so definiert[1]:  ,       oder   (hier eckige Klammern für geordnetes Paar). Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn sie gleichlang und auch ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind. 3-Tupel nennt man auch Tripel.

In einer anderen Definition des Tupelbegriffs[2] wird jedes mathematische Objekt als 1-Tupel angesehen und jedes geordnete Paar, dessen linke Komponente ein n-Tupel ist, als (n+1)-Tupel. Hier ist weder ein 0-Tupel noch “Länge eines Tupels” noch “i-te Komponente eines Tupels” definiert.

Einzelnachweis

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  1. Encyclopaedia of Mathematics/tuples Online
  2. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre.


R E L A T I O N

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Relationen gehören zu den im Zentrum der Mathematik stehenden Begriffe, sie geben Beziehungen zwischen mathematischen Objekten an. Gibt eine Relation 2-er Beziehungen an, dann spricht man von einer binären Relation, gibt sie 3-er Beziehungen an, von einer tertiären Relation und so fort, allgemein: gibt eine Relation Beziehungen zwischen n Objekten an, dann nennt man sie n-stellige Relation. Eine binäre Relation ist eine Menge geordneter Paare, welche jeweils die beiden in Beziehung stehenden Objekte als Komponenten enthalten, bei tertiären Relationen sind es Tripel, bei n-stelligen Relationen n-Tupel. Beispiel einer binären Relation ist die mit dem Symbol “<” bezeichnete Kleiner–als–Relation, das ist die Menge aller geordneten Paare (x,y) reeller Zahlen, deren Differenz negativ ist; man schreibt, wie bei binären Relationen üblich, a<b, wenn (a,b) ein Element dieser Relation ist.

Definitionen

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Mengen gleichlanger Tupel, deren Längen größer als 1 ist, nennt man Relationen, insbesondere n-stellige Relationen, wenn n die Länge ihrer Elemente ist.

Basiskonzepte

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  bezeichnet eine n-stellige Relation.

  •   heißt in der i-ten Position eindeutig, wenn sie keine verschiedenen Elemente enthält, die sich nur in der i-ten Komponente voneinander unterscheiden.
Formal:      .
  • Die Menge der i-ten Komponenten der Elemente von   heißt i-ter Komponentenbereich von  .
Formal:  .
  • Ist   eine Permutation des n-Tupels (1, 2 . . . n), dann nennt man diejenige Relation, die aus   hervorgeht, indem in jedem ihrer Elemente die i-te Komponente gegen die  –te austauscht,  –Inverse von  . Die (n, . . . 2, 1)–Inverse von   nennt man einfach Inverse von  .
Formal:  .

Relationsarten

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Eine n-stellige Relation   heißt

  • binär, tertiär und so fort, je nachdem n = 2, 3, . . .
  • funktional, wenn sie in der letzten (n-ten) Position eindeutig ist.
  • Relation zwischen den Mengen  , wenn    für i = 1, . . . n   (gleichbedeutend mit    [1] )
  • homogen auf der Menge  , wenn    für i = 1, . . . n.

Binäre Relationen

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Nachstehend bezeichnen   binäre Relationen.

  • Für   schreibt man auch  
  • Die Relationenverknüpfung von   ist definiert als die Relation  .
Die Relationenverknüpfung ist assoziativ:  .
  •   heißt
  • linkseindeutig, wenn sie in der 1. Position eindeutig ist.
  • rechtseindeutig, wenn sie in der 2. Position eindeutig ist.
  • eineindeutig, wenn sie sowohl links- als auch rechtseindeutig ist.

Funktionale Relationen

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  • Eine (n+1)-stellige (n ≥ 1) funktionale Relation   heißt n-stellige Funktion oder Funktion mit n Argumenten.
  • Für   schreibt man auch  , nennt   Wert von   für die Argumente   und bezeichnet diesen mit  .
  •   heißt injektiv, wenn aus   folgt, dass   für i = 1, . . . n.
  • Die Menge   heißt Wertebereich von   und wird so notiert  .

Relationen zwischen Mengen

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  • Die Aussage   heißt in der i-ten Position total oder partiell, je nachdem   oder  .

Binäre Relationen zwischen Mengen

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  • Die Aussage   heißt
  • links- oder rechtstotal, wenn sie in der 1. respektive 2. Position total ist
  • links- oder rechtspartiell, wenn sie in der 1. respektive 2. Position partiell ist
  • bitotal, wenn sie sowohl links- als auch rechtstotal ist
  • bipartiell, wenn sie sowohl links- als auch rechtpartiell ist

Funktionale Relationen zwischen Mengen

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  • Die Aussage   liest man "  ist eine Funktion aus   in  " und schreibt dafür  .
  • Bei Funktionen mit einem Argument setzt man bei Bedarf in der Aussage   auf den Pfeil die Buchstaben
  • "i", wenn   injektiv ist
  • "t", wenn    linkstotal ist
  • "p", wenn    linkspartiell ist
  • "s", wenn    rechtstotal ist
  • "b" anstelle der Kombination "is"
Lesarten bei Funktionen mit einem Argument
(der hinter dem Schrägstrich in der ersten Spalte angegebene Pfeil ist eine Alternative zum davorstehenden)
Die Aussage liest man:   ist eine alternativ auch:   ist eine
  totale Funktion aus   in   Funktion von   in  
  totale injektive Funktion aus   in   injektive Funktion von   in  
  totale surjektive Funktion aus   in   Funktion von   auf  
  totale bijektive Funktion aus   in   injektive Funktion von   auf  
  partielle Funktion aus   in   ––––––
  partielle injektive Funktion aus   in   ––––––
  partielle surjektive Funktion aus   in   partielle Funktion aus   auf  
  partielle bijektive Funktion aus   in   partielle injektive Funktion aus   auf  

Binäre homogene Relationen auf einer Menge

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  • Die Identitätsrelation auf einer Menge   ist die Relation  .
  • Die Universalrelation auf einer Menge   ist die Relation  .
Im Kontext einer vorgegebenen Menge verzichtet man bei der Identitätsrelation und der Universalrelation auf die Angabe der Menge, schreibt also einfach nur   respektive  .


Beispiele: Gewöhnliche Vergleichsrelationen auf der Menge   der reellen Zahlen

 
 
 
 
 
 


Eine binäre homogene Relation   auf  
heißt wenn   in Worten
rechtskomparativ   Ist z sowohl von x als auch von y Partner, dann sind x und y Partner voneinander
linkskomparativ   Sind x und y beide Partner von z, dann sind x und y Partner voneinander
transitiv   Ist y Partner von x und z Partner von y, dann ist auch z Partner von x
intransitiv   Ist y Partner von x und z Partner von y, dann ist z kein Partner von x
reflexiv   Jedes x ist Partner seiner selbst
irreflexiv   Kein x ist Partner seiner selbst
symmetrisch   Ist y Partner von x, dann ist auch x Partner von y
asymmetrisch   Ist y Partner von x, dann ist x kein Partner von y
antisymmetrisch   Ist y Partner von x und x Partner von y, dann sind x und y gleich
vollständig   y ist Partner von x oder x ist Partner von y
konnex   Ist y verschieden von x, dann ist y Partner von x oder x Partner von y
trichotom wenn   konnex und asymmetrisch ist
quasigeordnet wenn   transitiv und reflexiv ist
äquivalent wenn   transitiv, reflexiv und symmetrisch ist
teilgeordnet wenn   transitiv, reflexiv und antisymmetrisch ist
linear geordnet wenn   vollständig und teilgeordnet ist
striktgeordnet wenn   transitiv, irreflexiv und antisymmetrisch ist
streng vollgeordnet wenn   konnexe und teilgeordnet ist
wohlgeordnet wenn   linear geordnet ist und jede nichtleere Teilmenge von   ein kleinstes Element besitzt

Verallgemeinerung

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Relationen können echte Klassen gleichlanger Tupel, sein[2]

Beispiel: Substring-Relation (   ist die Verkettung der Tupel   )

 .   Z.B. gilt  .

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. In der Literatur findet sich "n-stellige Relation" manchmal auch als (n+1)-Tupel   definiert, wobei    wird dann "Graph" der Relation genannt.
  2. Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.