Artinscher Modul

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Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Der Begriff weist einige Analogien zum Begriff des noetherschen Rings auf, die beiden Begriffe sind aber nicht auf ganz einfache Weise miteinander verbunden. Zum Beispiel ist jeder artinsche Ring noethersch, aber nicht umgekehrt.

Artinscher ModulBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ein Modul   über einem Ring   mit   heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Jede nichtleere Menge von  -Untermoduln von   hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.
  • Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d. h. in einer Kette
  gibt es einen Index  , so dass für alle   gilt:  .
  • Für jede Familie   von Untermoduln existiert eine endliche Teilmenge   von  , so dass gilt:  

BeispieleBearbeiten

  • Jeder endliche Modul ist artinsch.
  • Jeder endlich erzeugte Modul über einem artinschen Ring ist artinsch.
  •   ist kein artinscher  -Modul.
  • Eine endliche direkte Summe artinscher Moduln ist artinsch.
  • Ist   eine (assoziative) Algebra über einem Körper  , und hat ein  -Modul   endliche  -Dimension, so ist   artinsch. Beispielsweise sind die Ringe   und   artinsch.
  • Die Prüfergruppe   als  -Modul ist artinsch, jedoch nicht  .

EigenschaftenBearbeiten

  1.   ist artinsch
  2.   sind artinsch
  • Für einen (Links-)Modul   über einem (links-)artinschen Ring   sind äquivalent:
    • M ist (links-)artinsch
    • M ist (links-)noethersch
    • M ist endlich erzeugt

Artinscher RingBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ein Ring   heißt linksartinsch, wenn   artinsch als  -Linksmodul ist.

Ein Ring   heißt rechtsartinsch, wenn   artinsch als  -Rechtsmodul ist.

Ein Ring   heißt artinsch, wenn   links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die (Links- / Rechts-)Ideale.)

BeispieleBearbeiten

  • Körper sind artinsch
  • Sei   ein Körper,   eine endlich erzeugte  -Algebra (d. h.   für ein geeignetes Ideal  ), dann ist   ein artinscher Ring genau dann, wenn  .
  •   ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
  •   ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

EigenschaftenBearbeiten

LiteraturBearbeiten