Funktionalableitung

verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals
(Weitergeleitet von Variationsableitung)

Die Funktionalableitung auch Variationsableitung[1] ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation.

Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Untermenge eines topologischen Vektorraumes und   mit   ein (nicht zwingend lineares) Funktional, dann ist die erste Variation von   definiert durch

 

für eine beliebige Funktion   (in einem nicht näher bestimmten Funktionenraum  ) mit der einzigen Bedingung, dass   auf   eindeutig definiert ist für hinreichend kleine  . Der Funktionenraum   muss kein Unterraum von   sein, so lange   für alle   ist.

Die Funktionalableitung   von   ist dann definiert durch

 .

Diese Definition impliziert, dass die rechte Seite in die Form eines linearen Integraloperators mit Integralkern   gebracht werden kann. Dies ist im Allgemeinen für beliebige Funktionale und beliebige   nicht möglich. Ein Funktional für das eine solche Integralform existiert, heißt differenzierbar.[1][2]

Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, was durch die Notation   ausgedrückt werden soll.

EigenschaftenBearbeiten

Analog zur üblichen Richtungsableitung hat auch die Funktionalableitung folgende Eigenschaften.

  1. Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung[2]:
     
  2. Für ein Produkt aus Funktionalen   gilt die Produktregel[2]:
     
  3. Falls   linear ist, dann ist
     .
    Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz: Weil   hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt   darstellen.
  4. Operiert das Funktional   zwischen Teilmengen von Banachräumen und ist die Funktionalableitung   von   eine lineare Abbildung, dann existiert auch die Fréchet-Ableitung von   und stimmt mit   überein.[1]

BeispieleBearbeiten

  • Das nicht-lineare Funktional
 
hat die Funktionalableitung  , wie sich mithilfe der Definition zeigen lässt:
 .
Da dies für alle Testfunktionen   gelten muss, folgt
 .
 
ein Funktional der Dichte  .[3] Das zugehörige Austauschpotential ist
 .
  • Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional   der Dichte  :
 
Es gilt
 .
Da dies für alle Testfunktionen   gelten muss, folgert man das[2] Ergebnis
 .
  • In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist
 .
Mithilfe des Grenzwerts
 
zeigt man
 .
  • Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine reelle Funktion   mithilfe der Delta-Distribution als Funktional schreiben:
 .
In diesem Sinne ist[4]
 .

Mögliche Voraussetzungen für die Existenz der FunktionalableitungBearbeiten

Die Abbildung

 

ist ein lineares Funktional. Erfüllt es zusätzliche Voraussetzungen, so kann auf dieses Funktional der Darstellungssatz von Riesz-Markow angewandt werden. Dann gibt es ein Maß  , so dass das Funktional als Integral gegen dieses Maß aufgefasst werden kann, das heißt es gibt eine Darstellung

 .

Kann man zusätzlich den Satz von Radon-Nikodým anwenden, so gibt es eine Dichtefunktion, so dass

 

gilt. Diese Dichtefunktion ist dann die Funktionalableitung.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1, S. 405–406.
  2. a b c d R. G. Parr, W. Yang Appendix A, Functionals. In: Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 978-0195042795, S. 246–254.
  3. Klaus Capelle, A bird's-eye view of density-functional theory, Version 5, November 2006, Gleichung (83)
  4. Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1, S. 407–408.