Erste Variation

Die erste Variation ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ihre Eigenschaften sind in der angewandten Mathematik und der theoretischen Physik relevant. Die erste Variation spielt eine zentrale Rolle in der Variationsrechnung und wird in der analytischen Mechanik genutzt. Ein verwandtes Konzept ist die Funktionalableitung.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Funktionenraum;   ein Funktional mit   oder  ;   Funktionen und  . Dann ist die erste Variation des Funktionals   nach   definiert als

 .

Dies entspricht dem Gâteaux-Differential des Funktionals   an der Stelle   in Richtung  .

EigenschaftenBearbeiten

  1. Die erste Variation ist eine lineare Abbildung:
     
  2. Für ein Produkt aus Funktionalen   gilt die Produktregel:
     

BeispielBearbeiten

Die erste Variation von

 

ist nach obiger Definition

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten