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Die Funktionalableitung ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation.

Die Funktionalableitung ist in der angewandten Mathematik und der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Funktionenraum;   ein (lineares oder nicht-lineares) Funktional mit   oder  ;   eine Funktion und  . Weiterhin bezeichne   einen Raum von Testfunktionen über  . Sei im Folgenden  .

Als Funktionalableitung

 

von   definiert man jene Funktion (oder Distribution)  , welche die Gleichung

 

erfüllt (  ist die Definitionsmenge von Funktionen aus  ).[1]

Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, was durch die Notation   ausgedrückt werden soll.

EigenschaftenBearbeiten

  1. Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung[1]:
     
  2. Für ein Produkt aus Funktionalen   gilt die Produktregel[1]:
     
  3. Für lokale Funktionale   gilt die Kettenregel:[2]
     
  4. Falls das Funktional die Form   hat, dann gilt:[2]
     
  5. Falls das Funktional linear in der Form   ist, dann ist die Funktionalableitung besonders einfach:[2]
     
    Korollar: Wenn   linear ist, dann ist  . Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz: Weil   hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt   darstellen.

BeispieleBearbeiten

  1. Das nicht-lineare Funktional   hat die Funktionalableitung  , wie sich mithilfe der Definition leicht zeigen lässt:
     
    Da dies für alle Testfunktionen   gelten muss, folgert man:  .
  2. Ein anderes Beispiel stammt aus der Dichtefunktionaltheorie. In der LDA-Näherung ist dort die Austauschenergie
     
    ein Funktional der Dichte  .[3] Das zugehörige Austauschpotential ist
     .
  3. Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional   der Dichte  :
     
    Wir rechnen nach:
     
    Da dies für alle Testfunktionen   gelten muss, folgert man das bekannte[1] Ergebnis:  .
  4. In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist
     
    Mithilfe des Grenzwerts   zeigt man leicht:
     
  5. Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine Funktion   mithilfe der Dirac'schen Delta-Distribution als Funktional schreiben:  . In diesem Sinne ist[2]
     .

Zusammenhang zur ersten VariationBearbeiten

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Während die erste Variation das Gâteaux-Differential eines Funktionals   an der Stelle   in Richtung einer Funktion   ist, entspricht die Funktionalableitung der Fréchet-Ableitung des Funktionals   an der Stelle  . Wenn   Fréchet-differenzierbar ist, dann ist   auch Gâteaux-differenzierbar und die Fréchet-Ableitung entspricht der Gâteaux-Ableitung. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Für Details siehe Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d R. G. Parr, W. Yang Appendix A, Functionals. In: Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 978-0195042795, S. 246–254
  2. a b c d Michael J. Gruber, Uni Hannover, Funktionalableitungen "in a nutshell", abgerufen am 7. April 2016
  3. Klaus Capelle, A bird's-eye view of density-functional theory, Version 5, November 2006, Gleichung (83)