Topologischer Nullteiler

Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Unter Ausnutzung der Topologie wird der algebraische Begriff des Nullteilers verallgemeinert.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element   heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge   in A gibt mit:

  1.   für alle  ,
  2.  .

Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich   zu schreiben ist.

Ein beidseitiger oder zweiseitiger topologischer Nullteiler ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler.[1][2]

In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu; hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor.

BeispieleBearbeiten

  • Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge   wählen.
 
Skizze zu den verwendeten Funktionen
  • In der Funktionenalgebra   der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist   ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist.   ist kein Nullteiler, denn ist  , so muss   zunächst für   gelten, da   auf   nicht 0 ist. Die Stetigkeit von   liefert dann für alle   die Eigenschaft   und damit muss   (also die Nullfunktion auf  ) sein und   ist kein Nullteiler.
Um zu sehen, dass   ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen
 
Dann ist  ,   und damit   als topologischer Nullteiler nachgewiesen.
  • Ist   eine Banachalgebra mit Einselement 1,   kein Vielfaches des Einselements und   aus dem topologischen Rand des Spektrums von  , so ist   ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist   isomorph zu   oder   hat topologische Nullteiler.[3]

Permanent singuläre ElementeBearbeiten

Ein Element einer Banachalgebra   heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra   gibt mit   (bzw.   ist isometrisch in   eingebettet), so dass es in   invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz[4]:

  • Ein Element einer kommutativen  -Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

NullteilerBearbeiten

Man kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten (algebraischen) Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt[5]:

  • Zu jeder Banachalgebra   gibt es eine Banachalgebra  , so dass folgendes gilt:
  1.   ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von  .
  2. Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von   ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in  .

Zur Konstruktion von   sei   die Algebra aller beschränkten Folgen in  . Für   sei  . Dann ist   ein Ideal in   und der Quotient   ist mit der durch   induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man   isometrisch isomorph in   einbetten. Ist nun   ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge   in   mit  . Daher ist  , aufgefasst als Element in  , ein linker Nullteiler.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12
  3. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4
  4. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7
  5. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8