Symmetrische Gleichung

polynomiale (ganzrationale) Gleichung, deren Koeffizientenfolge symmetrisch ist

Eine symmetrische Gleichung ist eine polynomiale (ganzrationale) Gleichung, deren Koeffizientenfolge symmetrisch ist. Weil mit jeder Lösung auch eine Lösung ist, werden sie auch reziproke Gleichungen genannt. Sind die Koeffizienten dem Betrag nach symmetrisch, unterscheiden sich aber nach dem Vorzeichen, spricht man von einer antisymmetrischen Gleichung.

DefinitionBearbeiten

Eine polynomiale Gleichung  -ten Grades

 

heißt symmetrisch, wenn   für alle   gilt. Gilt dagegen  , so wird die Gleichung antisymmetrisch genannt. Das Polynom

 

wird dann auch palindromisch[1] (engl.: palindromic polynomial) bzw. antipalindromisch genannt.

EigenschaftenBearbeiten

Es sei   ein Polynom vom Grad   mit reellen oder komplexen Koeffizienten.

  1. Wenn   palindromisch oder antipalindromisch ist, ist  .
  2. Wenn   antipalindromisch und   gerade ist, gilt  .
  3.   ist genau dann palindromisch, wenn  , und genau dann antipalindromisch, wenn  .
  4. Wenn   palindromisch und   ungerade ist, gilt  . Wenn   antipalindromisch ist, gilt  .
  5. Wenn   palindromisch oder antipalindromisch und   ist, so ist   und  .   und   sind dann Lösungen derselben Vielfachheit der (anti-)symmetrischen Gleichung  .
  6. Sind   und   palindromische Polynome, so auch das Produkt  . Sind beide Faktoren antipalindromisch, so ist das Produkt ebenfalls palindromisch. Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch, so ist das Produkt antipalindromisch.
  7. Sind   und   palindromische oder antipalindromische Polynome, so ist auch   palindromisch oder antipalindromisch.
  8. Ist mit jeder Lösung   der Gleichung   auch der Reziprokwert   eine Lösung der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie  , dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.
  9. Ist   ein Polynom vom Grad  , so ist   ein palindromisches und   ein antipalindromisches Polynom vom Grad  .
  10. Ist   ein palindromisches (bzw. antipalindromisches) Polynom vom Grad  , so existiert genau ein Polynom   vom Grad   mit   (bzw.  ).
  11. Wenn alle Koeffizienten   reell sind und alle komplexen Nullstellen von   den Betrag 1 haben, dann ist   palindromisch oder antipalindromisch.[2]

Allgemeine LösungsstrategienBearbeiten

Besondere Lösungsstrategien helfen bei Gleichungen ab 5. Grad, da hier keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr existiert.

Symmetrische GleichungenBearbeiten

Symmetrische Gleichungen können daher bis zum Grad 9 auf Gleichungen 4. Grades (oder kleiner) zurückgeführt werden, so dass auch hier alle Nullstellen bestimmt werden können.

Die allgemeine Lösungsstrategie für symmetrische Gleichungen mit geradem Grad   und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten[3]:

  1. Division aller Glieder des Polynoms durch  
  2. Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten  
  3. Substitution  ,  ,   usw.
  4. Ausmultiplizieren führt zu einem Polynom in   vom Grad  
  5. Lösungen für   berechnen
  6. Einsetzen jeder Lösung von   in die Substitutionsgleichung   und Auflösung nach  , so dass mit jedem   zwei Lösungen   aus der Gleichung   bestimmt werden können.

Bei symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten ist eine Nullstelle entweder 1 oder −1. Diese wird durch Einsetzen bestimmt, anschließend wird der entsprechende Linearfaktor   oder   mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine symmetrische Gleichung geraden Grades entsteht.

Berechnung der SubstitutionenBearbeiten

Weitere Substitutionen für höhere Potenzen lassen sich so ermitteln: Sucht man beispielsweise die Substitution für  , so lässt sich mit dem Ansatz

 

durch ausmultiplizieren der Ausdruck

 

gewinnen. Einsetzen der bereits bekannten Substitution   und ordnen führt zu

 

Auf diese Art lassen sich rekursiv immer weitere Substitutionen für höhere Potenzen von   aus den bereits bekannten Substitutionen für kleinere Potenzen konstruieren.

Resubstitution zur Berechnung der LösungenBearbeiten

Sobald man eine Lösung   gefunden hat, löst man die Substitutionsgleichung   nach   auf. Dadurch ergeben sich für jedes   zwei Lösungen für   aus der quadratischen Gleichung

 ,

und damit für jedes  

 .

Das absolute Glied der quadratischen Gleichung ist 1, so dass sich aus dem Vietaschen Wurzelsatz ergibt, dass die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung reziprok sein müssen. Es wird also zu jedem   auch   bestimmt.

Andere reziproke GleichungenBearbeiten

Für reziproke Gleichungen, bei denen neben jedem   auch immer   eine Lösung ist, lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Lösungen berechnen. Dazu eignet sich die Substitution

 

Mit den bereits beschriebenen Methoden können Substitutionen von höheren Potenzen ermittelt werden:

 

Wie sich hier zeigt, ist   für die geraden Potenzen von   eine Summe, keine Differenz.

Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen lösen:

 
 
 

Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist, haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition. Die Lösung durch Substitution ist nur möglich, wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten.

Lösungsformeln für spezielle GleichungenBearbeiten

Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Substitution auf eine Gleichung in   führt.

Symmetrische Gleichung 4. GradesBearbeiten

Für eine quartische Gleichung in Normalform

 

ergibt sich nach Division durch   und Zusammenfassung der Glieder:

 

Nach der Substitution mit   und   ergibt sich die quadratische Gleichung in  :

 

Daraus ermittelt man die Lösungen   und  .

Beispiel: Die Gleichung   wird durch die genannte Substitution zur quadratischen Gleichung   mit den Lösungen 10/3 und 5/2 für  , woraus sich die Gleichungen   und   mit den Lösungen −2; −1/2; 1/3 und 3 auch der ursprünglichen Gleichung ergeben.

Symmetrische Gleichung 6. GradesBearbeiten

Für eine Gleichung 6. Grades in Normalform

 

ergibt sich nach Division durch   und Zusammenfassung der Glieder:

 

Nach der Substitution mit   und   und   ergibt sich die kubische Gleichung in  :

 

Daraus ermittelt man die Lösungen  ,   und   mit Hilfe der Lösungsformeln für die kubischen Gleichung.

Symmetrische Gleichung 8. GradesBearbeiten

Für eine Gleichung 8. Grades in Normalform

 

ergibt sich nach Division durch   und Zusammenfassung der Glieder:

 

Nach der Substitution mit   und  ,   und   ergibt sich die quartische Gleichung in  :

 

Daraus ermittelt man die Lösungen  ,  ,   und   mit Hilfe der Lösungsformeln für die quartische Gleichung.

Weitere BeispieleBearbeiten

  • Die Nullstellen der quadratischen Gleichung lassen sich mit den bekannten Lösungsformeln am schnellsten bestimmen.
  • Bei kubischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten ist +1 oder −1 eine Lösung, danach führt eine Polynomdivision zu einer quadratischen (symmetrischen) Gleichung.
Beispiele:
  • Die linke Seite der symmetrischen Gleichung 3. Grades   mit den Lösungen −1/3, −1 und −3 wird durch Division durch   zu  , woraus sich die weiteren Lösungen ergeben.
  • Die linke Seite der antisymmetrischen Gleichung 3. Grades   mit den Lösungen −1/3, 1 und −3 wird durch Division durch   ebenfalls zu  , woraus sich die weiteren Lösungen ergeben.
  • Bei der quintischen Gleichung (Gleichung 5. Grades) ist wieder +1 bzw. −1 eine Lösung. Eine Polynomdivision durch   bzw.   führt zu einer symmetrischen Gleichung 4. Grades.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Frank Celler: Konstruktive Erkennungsalgorithmen klassischer Gruppen in GAP (Dissertation) [1] (GZIP; 233 kB)
  2. The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials[2]
  3. Meyers Großer Rechenduden, Bibliographisches Institut AG Mannheim (Dudenverlag), 1961; Ohne Angabe einer ISBN und Auflage