In der Mathematik ist Eigenschaft T (auch Kazhdans Eigenschaft T) eine Starrheitseigenschaft topologischer Gruppen, die zuerst von David Kazhdan in den 1960er Jahren betrachtet wurde.

Spätere Entwicklungen zeigten, dass Eigenschaft T in vielen Gebieten der Mathematik eine Rolle spielt, darunter diskrete Untergruppen von Lie-Gruppen, Ergodentheorie, Random Walks, Operatoralgebren, Kombinatorik und theoretische Informatik.

Eine Version, die unter anderem bei Beweisen im Zimmer-Programm verwendet wird, ist die von Vincent Lafforgue eingeführte starke Eigenschaft T.

Definition

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Sei   eine stark stetige, unitäre Wirkung einer topologischen Gruppe   auf einem Hilbertraum  .

Für eine kompakte Menge   und   heißt ein Vektor    -invariant, wenn

 .

  hat Eigenschaft T, wenn es eine kompakte Menge   und ein   gibt, so dass es für jede unitäre Wirkung einen  -invarianten Vektor gibt.

Beispiele

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  • Jede kompakte Gruppe hat Eigenschaft T. Man kann   und   wählen.
  •   und   haben Eigenschaft T nicht.
  • Eine lokal kompakte Gruppe ist genau dann kompakt, wenn sie mittelbar ist und Eigenschaft T hat.
  •   hat genau dann Eigenschaft T, wenn   ist. Allgemeiner haben für jeden lokalen Körper   die Gruppen   mit   und   mit   Eigenschaft T.
  • Einfache Lie-Gruppen mit   haben Eigenschaft T.

Eigenschaften

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  • Jede lokal kompakte Gruppe mit Eigenschaft T ist kompakt erzeugt. Insbesondere sind Gitter mit Eigenschaft T endlich erzeugt.
  • Wenn   Eigenschaft T hat, dann hat   Eigenschaft T für jeden Normalteiler  .
  • Wenn   lokal kompakt,   abgeschlossen und   ein endliches, reguläres,  -invariantes Borel-Maß hat, dann hat   genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf   zutrifft. Insbesondere hat ein Gitter   genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf   zutrifft.
  • Nach dem Satz von Delorme-Guichardet hat eine Gruppe   genau dann Eigenschaft T, wenn sie Eigenschaft FH hat: jede stetige Wirkung durch affine Isometrien auf einem Hilbert-Raum   hat einen Fixpunkt. Äquivalent dazu muss   für alle unitären Darstellungen   sein.
  • Aus Eigenschaft FH folgt beispielsweise, dass jede Wirkung der Gruppe als Isometrien eines Baumes oder eines hyperbolischen Raumes einen Fixpunkt haben muss, und dass jede orientierungserhaltende,  -Wirkung der Gruppe auf dem Kreis über die Wirkung einer endlichen zyklischen Gruppe faktorisiert.

Literatur

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