Ergodentheorie

Die Ergodentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sowohl der Maßtheorie und Stochastik als auch der Theorie dynamischer Systeme zugeordnet wird. Die Ursprünge der Ergodentheorie liegen in der statistischen Physik. Der Name leitet sich von griechischen έργον ‚Werk‘ und όδος ‚Weg‘ ab. Einzelheiten des physikalischen Begriffs siehe Ergodizität.

VorbereitungenBearbeiten

 
Beispiel einer (Lebesgue-) maßerhaltenden Abbildung:   mit  

Man nennt zu einem Wahrscheinlichkeitsraum   eine messbare Abbildung   maßerhaltend, falls das Bildmaß von   unter   wieder   ist, d. h.   für alle Mengen   aus der σ-Algebra  . Entsprechend heißt das 4-Tupel   maßerhaltendes dynamisches System.

Eine Menge   heißt außerdem  -invariant, falls sie mit ihrem Urbild übereinstimmt, wenn also   gilt. Das Mengensystem aller  -invarianten Mengen   bildet hierbei eine σ-Algebra. Analog dazu heißt eine Menge   quasi-invariant, falls die symmetrische Differenz der Menge mit ihrem Urbild bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes   eine Nullmenge bildet, also wenn gilt  .

DefinitionBearbeiten

Eine maßerhaltende Transformation heißt nun ergodisch, falls für alle  -invarianten Mengen   gilt, dass  . Die Mengen bilden also eine P-triviale σ-Algebra. Das 4-Tupel   bestehend aus Wahrscheinlichkeitsraum   und ergodischer maßerhaltender Abbildung   heißt dementsprechend ergodisches dynamisches System.

Neben dieser Definition gibt es eine Reihe äquivalenter Charakterisierungen. Falls   ein maßerhaltendes dynamisches System ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  •   ist ergodisches maßerhaltendes System.
  • Für jede quasi-invariante Menge   gilt entweder   oder  .
  • Jede  -messbare Funktion   ist  -fast sicher konstant.
  • Für alle   gilt:  .

AnwendungenBearbeiten

Mathematisch gesehen stellt der Birkhoffsche Ergodensatz für ergodische Maßtransformationen eine Variante des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar. Dabei können durchaus auch abhängige Zufallsvariablen betrachtet werden. Dasselbe gilt für den Lp-Ergodensatz.

Beispiele ergodischer AbbildungenBearbeiten

Rotation auf dem EinheitskreisBearbeiten

Betrachte das System   bestehend aus der Menge  , der Borel-σ-Algebra  , dem Lebesguemaß   und der Abbildung  . Dieses System ist für alle   maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn   nicht rational ist, sprich wenn gilt  .

Bernoulli-ShiftBearbeiten

Auch beim Bernoulli-Shift handelt es sich um eine ergodische Abbildung: Betrachte den Grundraum der  - -Folgen   mit zugehöriger Produkt-σ-Algebra   und zugehörigem unendlichen Produktmaß   definiert durch  . Bei der Bernoulli-Abbildung   handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum  , das heißt   ist definiert als

 

Dann ist das 4-Tupel   ein ergodisches dynamisches System.

Gauß-AbbildungBearbeiten

Sei der Grundraum   und   die entsprechende Borelsche σ-Algebra. Definiere die Gauß-Abbildung   durch

 

Falls nun als Maß das Gaußmaß  ,  , gewählt wird, so handelt es sich bei   um ein ergodisches dynamisches System.

GeschichteBearbeiten

Die heute als Ergodensatz bekannte Übereinstimmung von Zeit- und Raummittel (Proportionalität der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zum Volumen eines räumlichen Gebiets) wurde 1877 von Boltzmann formuliert und von Birkhoff 1932 mathematisch bewiesen, wobei man für den mathematischen Beweis eine Nullmenge von Punkten ausschließen muss. Vor Birkhoff hatten bereits von Neumann und Hopf einen L2-Ergodensatz bewiesen. Den ersten Ergodizitätsbeweis in einer speziellen Situation fand 1924 Artin für den geodätischen Fluss auf der Modulfläche. Neben ihrer ursprünglichen Herkunft aus der statistischen Physik hat Ergodentheorie heute Anwendungen in zahlreichen Gebieten der Physik und Mathematik bis hin zu Geometrie und Zahlentheorie.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

HistorischBearbeiten

ModernBearbeiten

  • D. V. Anosov: Ergodic theory. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online [abgerufen am 30. Juli 2019]).Vorlage:EoM/id
  • Wladimir Igorewitsch Arnold, André Avez: Ergodic Problems of Classical Mechanics. W. A. Benjamin, New York 1968 (englisch).
  • Leo Breiman: Probability. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-296-3, Kap. 6 (englisch, Erstausgabe: Addison-Wesley, 1968).
  • Peter Walters: An introduction to ergodic theory. Springer, New York 1982, ISBN 0-387-95152-0 (englisch).
  • Tim Bedford, Michael Keane, Caroline Series (Hrsg.): Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces. Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853390-X (englisch).
  • Joseph M. Rosenblatt, Máté Weirdl: Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis. In: Karl E. Petersen, Ibrahim A. Salama (Hrsg.): Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference. Cambridge University Press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-45999-0 (englisch).
  • Manfred Einsiedler, Thomas Ward: Ergodic theory with a view towards number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 259). Springer London, London 2011, ISBN 978-0-85729-020-5 (englisch).

WeblinksBearbeiten