Als Ramanujansumme wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine bestimmte endliche Summe , deren Wert von der natürlichen Zahl und der ganzen Zahl abhängt, bezeichnet. Sie wird durch
definiert. Die Schreibweise steht für den größten gemeinsamen Teiler von und , die Summation erstreckt sich also über die Zahlen mit , die zu teilerfremd sind. Die einzelnen Summanden sind Potenzen einer festen komplexenEinheitswurzel.
Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend geschrieben und die Funktion wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.[3]
Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme als
schreiben.
Für ganze Zahlen und schreibt man , gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl existiert, mit der gilt. Existiert keine solche Zahl, schreibt man , gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol bedeutet, dass der Summationsindex alle positiven Teiler von durchläuft. Für eine Primzahlpotenz und eine ganze Zahl schreibt man (gelesen „ teilt b genau“), falls aber – mit anderen Worten, falls .
Hält man eine der Variablen oder in der Ramanujansumme fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen, muss für diesen Begriff als Variable auf beschränkt werden. Bei festem ist die Funktion -periodisch, das heißt, es gilt
, falls .
Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man
denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von und , dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion mit der konstanten Funktion :
Ramanujansummen zur Darstellung von zahlentheoretischen FunktionenBearbeiten
Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskreter Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:[5]
Seien und eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt
diskrete Fouriertransformierte von .
Für diese Fouriertransformierte gilt
Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.
Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit
Dann folgt durch inverse Fouriertransformation für
Das bedeutet: Genau dann, wenn die rechtsstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen und teilerfremd. Die rechte Seite der Gleichung hat dann den Wert 1.
John Knopfmacher: Abstract Analytic Number Theory. Neue Auflage. Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-66344-2.
Srinivasa Ramanujan: On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band22, Nr.15, 1918, S.259–276.
Srinivasa Ramanujan: On Certain Arithmetical Functions. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band22, Nr.9, 1916, S.159–184.
Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6.
Wolfgang Schramm: The Fourier Transform of functions of the Greatest Common Divisor. In: Integers: Electronical Journal of Combinatorical Number Theory. Band8, Nr.50, 2008 (emis.de [PDF]).
Ivan Matveevitch Vinogradov: The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004.