Srinivasa Ramanujan

indischer Mathematiker und Autodidakt (1887-1920)
(Weitergeleitet von S. Ramanujan)
Srinivasa Ramanujan
Ramanujans Unterschrift

Srinivasa Ramanujan, FRS (Tamilisch: ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன், Zum Anhören bitte klicken! [sriːniˈʋaːsə raːˈmaːnudʒən]; auch Srinivasa Ramanujan Iyengar;22. Dezember 1887 in Erode; † 26. April 1920 in Chetpet, Madras) war ein indischer Mathematiker. Er eignete sich seine mathematischen Kenntnisse autodidaktisch aus Fachliteratur an und besaß eine außerordentliche Begabung dafür, analytische und zahlentheoretische Probleme intuitiv zu lösen, meist ohne zunächst einen Lösungsweg oder Beweise angeben zu können.

In der Schule wurden seine mathematischen Fähigkeiten gefördert, doch ein Studium scheiterte an seiner Spezialisierung. Am Existenzminimum lebend betrieb er die Mathematik privat und notierte seine Erkenntnisse in den sogenannten Notizbüchern. Versuche einer wissenschaftlichen Anerkennung blieben zunächst ohne Erfolg, bis 1913 der britische Mathematiker Godfrey Harold Hardy sein Talent erkannte und ihn nach England holte, wo ihm zahlreiche bedeutende Entdeckungen gelangen. 1919 kehrte Ramanujan als bekannter Wissenschaftler nach Indien zurück und starb 1920 im Alter von 32 Jahren. Er hatte zeitlebens mit gesundheitlichen Problemen zu kämpfen.

Das Patronym Srinivasa wurde von Ramanujan meist mit S. abgekürzt.[1] Ramanujan war sein Rufname. Der Nachname Iyengar, der gleichzeitig die Kastenzugehörigkeit angibt, ist optional.

LebenBearbeiten

 
Ramanujans Wohnhaus in der Sarangapani Street in Kumbakonam

Jugend und AusbildungBearbeiten

Srinivasa Ramanujan wurde am 22. Dezember 1887 in eine Familie orthodoxer tamilischen Brahmanen aus der Kaste der Iyengar geboren. Nach der Geburt in Erode, wo seine Großeltern mütterlicherseits lebten, wuchs er in Kumbakonam zunächst in einem kleinen Haus in der Sarangapani Street auf. Sein Vater K. Srinivasa Iyengar arbeitete als Kontorist in einem Sari-Laden, seine Mutter Komalatammal Srinivasa war eine gebildete Hausfrau und in einem nahegelegenen Tempel als Sängerin tätig. Die Familie lebte in ärmlichen Verhältnissen und musste häufig die Wohnung wechseln. Drei seiner später geborenen vier Brüder starben im Säuglingsalter.

Im Dezember 1889 erkrankte Ramanujan schwer an Pocken, die in der Region Tausende das Leben kosteten. Danach ging er mit seiner Mutter in die Stadt Kanchipuram, wohin zuvor seine Großeltern aus Erode gezogen waren.

Am 1. Oktober 1892 kam er im Alter von vier Jahren in die Vorschule und im März 1894 auf die Telugu Medium School. Dann verlor sein Großvater sein Amt als Richter in Kanchipuram, und Ramanujan zog mit seiner Mutter zurück nach Kumbakonam. Dort besuchte er die Kangayan Primary School. Nach dem Tod seines Großvaters väterlicherseits schickte man ihn zu den Großeltern mütterlicherseits, die mittlerweile in Madras (heute Chennai) lebten. Dort mied Ramanujan die Schule und erhielt einen Aufseher, der den Schulbesuch sicherstellte. Nach sechs Monaten zog er zurück nach Kumbakonam.

Ramanujan entwickelte ein enges Verhältnis zur Mutter, die ihn als Brahmanen erzog und ihm die Traditionen, das Kastenwesen, die Puranas, religiöse Lieder und die Zelebrierung der Puja beibrachte. Sein Vater war nur selten daheim.

Auf der Kangayan Primary School galt Ramanujan kurz vor seinem zehnten Geburtstag in den Fächern Englisch, Tamil, Geographie und Arithmetik als bester Schüler des Distrikts. Anschließend besuchte er die Town High School und fiel bald als Mathematik-Wunderkind auf: Mit seinen elf Jahren war er zwei College-Studenten aus der Nachbarschaft mathematisch überlegen. Bücher über fortgeschrittene Trigonometrie von Sidney Luxton Loney arbeitete er innerhalb von zwei Jahren selbst durch. Allerdings brachten ihn seine Interessen und Fähigkeiten in Gefahr, zum Außenseiter zu werden:

„Als er mit vierzehn in der vierten Klasse war, hatten einige seiner Klassenkameraden bereits begonnen, Ramanujan abzuqualifizieren als einen, der in den Wolken schwebt, als jemanden, mit dem man kaum kommunizieren konnte. „Wir (Lehrer und Schüler) verstanden ihn nur selten“, erinnerte sich ein Mitschüler ein halbes Jahrhundert später. Man kann sich gut vorstellen, daß sich einige Lehrer angesichts seiner Fähigkeiten unwohl fühlten. Aber der größte Teil der Schule hatte vor ihm offenbar ehrfürchtigen Respekt, unabhängig davon, ob sie ihn verstanden oder nicht.“[2]

1902 erhielt Ramanujan Zertifikate für besondere Verdienste und Auszeichnungen und war der Schulleitung dabei behilflich, die 1200 Schüler auf das 35-köpfige Lehrerkollegium zu verteilen. Er begann sich für unendliche Reihen zu interessieren. Mit 16 Jahren stieß auf das Buch A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics von George Shoobridge Carr mit über 5000 mathematischen Sätzen. Zum Schulabschluss 1904 bekam er für seine mathematischen Leistungen den K. Ranganatha Rao prize, was ihm ein Stipendium am Government College in Kumbakonam ermöglichte, dem sogenannten „Cambridge Südindiens“. Im Alter von 17 Jahren berechnete Ramanujan die Euler-Mascheroni-Konstante im Kopf auf 15 Stellen hinter dem Komma.

Er begann am Government Arts College in Kumbakonam zu studieren, doch vernachlässigte er die Pflichtfächer Englisch und Sanskrit und verlor deshalb im Januar 1905 sein Stipendium wieder[3], so dass er das Studium abbrechen musste. Im August 1905 zog er nach Visakhapatnam und schrieb sich am Pachaiyappa’s College in Madras ein, musste jedoch auch dieses Studium wegen einer Erkrankung und nicht bestandener Prüfungen aufgeben.[4]

Leben in IndienBearbeiten

Ohne Ausbildung und Anstellung lebte Ramanujan am Existenzminimum und litt oft Hunger. Auf den Wunsch seiner Mutter hin heiratete er am 14. Juli 1909 die erst zehnjährige S. Janaki Ammal (1899–1994), die weiterhin bei ihren Eltern lebte. Wenige Monate später erkrankte er an einer Hydrocele testis, einer Ansammlung von Flüssigkeit in den Hodenhüllen; im Januar 1910 wurde er operiert.

Nach der Genesung nahm Ramanujan eine Stelle als Kontorist in Madras an, daneben gab er Studenten des Presidency College Nachhilfe in Mathematik. Er bewarb sich bei Distriktvorsteher V. Ramaswami Iyer, der kurz zuvor die Indian Mathematical Society (IMS) ins Leben gerufen hatte, mit seinen Notizbüchern mit Formeln um eine Stelle in der Finanzabteilung. Iyer meinte später:

„Ich war beeindruckt von den außergewöhnlichen mathematischen Ergebnissen, die in ihnen [in den Notizbüchern] enthalten waren. [...] Mir kam es nicht in den Sinn, sein Talent durch eine Anstellung auf der untersten Sprosse der Finanzabteilung zu unterdrücken.“[5]

Iyer schickte Ramanujan mit Empfehlungspapieren zu befreundeten Mathematikern nach Madras. Diese empfahlen ihn dem Distriktvorsteher von Nelluru und Sekretär der IMS, R. Ramachandra Rao weiter. Ramanujan rechnete ihm elliptische Integrale, hypergeometrische Funktionen sowie seine eigene Theorie über divergente Reihen vor, und Ramachandra Rao erkannte seine Brillanz. In Madras führte Ramanujan mit der finanziellen Hilfe Ramachandra Raos seine Arbeiten fort und veröffentlichte in der Zeitschrift der IMS.

Eines der ersten Probleme, die er in dem Heft behandelte, war die Berechnung des Ausdrucks

 

Er wartete lange Zeit auf eine Lösung durch die Leserschaft, doch es kam keine, so dass er die Lösung selbst präsentierte. Er nutzte dabei die Identität:[6]

 

Mit   ergibt sich die Formulierung der Aufgabe sowie die Lösung 3.

Ein weiterer Beitrag im Journal der IMS war die siebzehnseitige Abhandlung Some Properties of Bernoulli’s Numbers, in der er Eigenschaften der Bernoulli-Zahlen beschrieb. Unter anderem stellte er eine Methode vor,   auf der Grundlage anderer Bernoulli-Zahlen durch Rekursionsrelationen auszurechnen.

Anfangs enthielten Ramanujans Texte allerdings etliche Fehler. Der Herausgeber des Journals, M. T. Narayana Iyengar, Mathematikprofessor am Central College in Bangalore, schrieb dazu:

„Mr. Ramanujans Methoden waren so knapp und neuartig und seine Präsentation so mangelhaft in Klarheit und Präzision, dass Normale [mathematische Leser], an solch intellektuelle Gymnastik nicht gewöhnt, ihm kaum folgen konnten.“[7]

Im Januar des Jahres 1912 trat er eine Stelle im Generalbuchhaltungsbüro von Madras an, wo er einen Monatslohn von 20 Indischen Rupien erhielt. Nun zog auch seine mittlerweile 13-jährige Ehefrau zu ihm. Am 1. März 1912 wechselte er ins Buchhaltungsbüro des Hafenamtes in Madras, sein Monatsgehalt stieg auf 30 Rupien. Die Arbeit fiel ihm leicht und ließ ihm Zeit für Forschungen. Sein Vorgesetzter, Sir Francis Spring, und sein Kollege S. Narayana Iyer, ebenfalls Mitglied der IMS, bestärkten ihn darin.

Kontakt mit europäischen MathematikernBearbeiten

Sir Francis Spring, S. Narayana Iyer, R. Ramachandra Rao und Edward William Middlemast bemühten sich, europäische Mathematiker für Ramanujans Arbeiten zu interessieren. Doch obwohl Micaiah John Muller Hill (1856–1929) vom University College London einräumte, dass Ramanujan „einen Sinn für Mathematik und einiges Talent“ besitze, hielt er dessen Mängel an akademischer Bildung für zu groß, um von besseren Mathematikern akzeptiert zu werden, und beließ es bei Ratschlägen für die Zukunft. 1912 schrieb Ramanujan an Henry Frederick Baker und Ernest William Hobson, zwei führende Mathematiker an der Universität Cambridge. Er bekam seine Unterlagen kommentarlos zurück.

Schließlich wandte er sich brieflich an den international bekannten Mathematiker Godfrey Harold Hardy, der ebenfalls in Cambridge am Trinity College lehrte. Sein neunseitiger Brief vom 16. Januar 1913, voll mit Formeln, begann mit den Worten:[8]

„Sehr geehrter Herr,
ich bitte darum, mich Ihnen vorstellen zu dürfen als Angestellter der Buchhaltung in der Hafenverwaltung von Madras mit einem Jahreseinkommen von £ 20. Ich bin jetzt 26 Jahre alt. Ich habe keine abgeschlossene Universitätsausbildung, habe aber den üblichen Unterricht absolviert. […] Ich habe nicht den konventionellen geregelten Weg beschritten, dem man in einer Vorlesung an der Universität folgt, sondern ich gehe einen eigenen, neuen Weg. [...] Ich bitte Sie, die beigelegten Papiere durchzusehen. Da ich arm bin, möchte ich gerne meine Sätze veröffentlichen, falls Sie überzeugt sind, dass sie einen Wert haben.[9]

Hardy hielt ihn zunächst für einen Hochstapler. Einige der Formeln waren ihm bekannt, doch die meisten „schienen kaum glaubhaft“. Eine davon stand am Ende der dritten Seite des Briefes:[10][11]

  für  

Hardy glaubte, diese Gleichung, die die Gammafunktion und ein bestimmtes Integral enthielt (ein Gebiet, auf dem er sich für einen Experten hielt), beweisen zu können. Dies gelang ihm auch später, wenn auch die Beweise über bestimmte Integrale in dem Brief allesamt nicht einfach waren. Was Hardy aber vor allem faszinierte, waren die im Brief aufgeführten Resultate über unendliche Reihen, wie etwa

 

und

 

Das erste Resultat stammt von Gustav Bauer und war aus der Theorie der Legendre-Polynome bereits länger bekannt. Doch das zweite und zwei weitere Resultate waren Hardy völlig neu und stellten seiner Ansicht nach ein sehr viel schwereres Problem dar, als es auf den ersten Blick schien.[12] Sie standen mit der Theorie der hypergeometrischen Funktionen in Zusammenhang, die zuerst von Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß untersucht worden waren. Hardy fand Ramanujans Resultate über unendliche Reihen „sehr viel faszinierender, und es wurde schnell klar, dass Ramanujan weit allgemeinere Sätze besaß und eine Menge zurückhielt.“[13] Die zu ihrem Beweis nötigen Resultate wurden später in einer Monographie von Wilfrid Norman Bailey veröffentlicht.[14] Später fand man auch, dass Ramanujan schon vor 1910 eine Identität kannte (Dougall-Ramanujan-Identität),[15][16] aus der viele solcher Resultate ableitbar waren.

Über die Resultate auf der letzten Seite des Briefes, die elliptische Funktionen betrafen, äußerte Hardy:

„Ich hatte zuvor nichts auch nur im Entferntesten Ähnliches zu Gesicht bekommen. Ein einziger Blick darauf genügte, um zu erkennen, dass nur ein Mathematiker allerhöchsten Ranges sie niedergeschrieben haben konnte. Sie mussten wahr sein, denn wären sie das nicht gewesen, so hätte kein Mensch die Phantasie besessen, sie zu erfinden. Schließlich […] musste der Verfasser absolut ehrlich sein, denn große Mathematiker sind häufiger als Diebe und Scharlatane mit einer solch unglaublicher Fähigkeit.“[17]

Hardy zeigte seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood den Brief Ramanujans. Auch Littlewood versetzten die Leistungen des Inders in Erstaunen. Nach einer Diskussion der beiden Engländer bemerkte Hardy, dass der Brief und die Formeln „sicher das Bemerkenswerteste [sind], das ich je erhalten habe“,[18] und dass Ramanujan „ein Mathematiker von der höchsten Qualität, ein Mann von sowohl außergewöhnlicher Originalität als auch Kraft“[18] sei. Ein weiterer Kollege Hardys, der in Madras lehrende Eric Harold Neville, befand mit Blick auf die Theoreme und Formeln:

„Nicht eines hätte bei der weltweit fortschrittlichsten Untersuchung herausgefunden werden können.“[19]

Hardys briefliche Antwort erreichte Ramanujan am 8. Februar 1913 in Madras. Darin drückte der Brite sein Interesse an der Arbeit des Inders aus:

„Ich fand ihren Brief und ihre Sätze ganz außerordentlich interessant.....Ich wünsche ganz besonders ihre Beweise für diese Behauptungen hier. Sie werden verstehen, dass in dieser Theorie alles von einer rigorosen Exaktheit der Beweise abhängt.[20]

Schon in den ersten Februartagen, bevor Ramanujan den Brief erhalten hatte, bat Hardy die indischen Behörden, Ramanujans Reise nach Cambridge vorzubereiten. Nach der Ankunft des Briefes setzte sich Arthur Davies, der Sekretär des „Advisory Committee for Indian Students“, mit dem Inder in Verbindung, um die Überfahrt zu planen, doch dieser lehnte die Einladung nach Großbritannien ab, da er als orthodoxer Brahmane Angst hatte, er würde die Zugehörigkeit zu seiner Kaste verlieren, wenn er in ein fremdes Land ginge. Auch seine Mutter hatte Bedenken. Stattdessen sandte Ramanujan einen weiteren Brief mit Formeln an Hardy, dem er die Worte anfügte:

„Ich habe in Ihnen einen Freund gefunden, der meine Arbeit mit Wohlwollen betrachtet.[21]

Gilbert Walker, ehemaliger Mathematikprofessor von Cambridge, sah sich Ramanujans Arbeiten an und bat ihn ebenfalls, nach England zu kommen. Auch der indische Mathematiker B. Hanumantha Rao wollte seinen Landsmann dazu überreden. Er lud dessen Arbeitskollegen S. Narayana Iyer zu einem Gespräch der Bildungsbehörde, Fachbereich Mathematik ein, um herauszufinden, „was wir für S. Ramanujan tun können“. Bei diesem Treffen einigte man sich darauf, Ramanujan ein zweijähriges Forschungsstipendium an der University of Madras zu bewilligen. Pro Monat sollte er 75 Rupien erhalten.

Während seiner Zeit an der Universität veröffentlichte Ramanujan nebenbei weiterhin mathematische Probleme und deren Lösungen in der Zeitschrift der IMS. In dieser Zeit erarbeitete er Wege, bestimmte Integrale leichter zu lösen, überarbeitete die Integraltheorie von Giuliano Frullani aus dem Jahre 1821 und entwickelte Verallgemeinerungen für die Abschätzung zuvor scheinbar unlösbarer Integrale.

Schließlich willigten Ramanujans Eltern in die Reise ein. Am 18. März 1914 (andere Quellen nennen den 17. März) gingen Neville und Ramanujan in Madras an Bord der „SS Nevasa“ und liefen am 18. April in London ein, wo sie von Hardy und Littlewood erwartet und nach Cambridge gefahren wurden. Ramanujan fand Unterkunft bei Neville in der Chesterton Road.

Wissenschaftlicher Erfolg in EnglandBearbeiten

In den letzten Tagen des Mai zog Ramanujan in eine eigene Wohnung am Whewell’s Court, fünf Gehminuten von Hardys Büro entfernt. Unmittelbar nach seiner Ankunft nahm der Inder seine Arbeit auf. Zunächst zeigte er Hardy seine Notizbücher. Zwar hatte er dem Engländer in beiden Briefen zusammen etwa 120 Formeln geschickt, doch die Bücher enthielten noch wesentlich mehr Ansätze, Theoreme und Lösungen. Hardy erkannte, dass einige Rechnungen falsch und andere bereits entdeckt worden waren, doch die Mehrzahl waren neue Durchbrüche. Diese beeindruckten Littlewood und Hardy tief, und Ersterer meinte:

 
Trinity College (Great Court)

„Ich glaube, dass er mindestens ein Jacobi ist.“[22]

Auch Hardy zog Parallelen zwischen Ramanujan und Jacobi:

„[Ich] kann ihn nur mit Euler oder Jacobi vergleichen.“[23]

Zwischen Ramanujan und Hardy gab es jedoch gravierende charakterliche und kulturelle Unterschiede. Der Brite war Atheist und sah sich als Anhänger von Beweisen für Theorien sowie einer gewissen Strenge und Striktheit seiner Wissenschaft. Der Inder dagegen war ein tiefreligiöser Mensch, der zudem während seiner Arbeit vorwiegend auf seine Intuition vertraute und fast nie seine Sätze bewies. Während der gemeinsamen Jahre versuchte Hardy zudem, die Wissens- und Bildungslücken, die Ramanujan in anderen Fachbereichen aufwies, zu füllen, ohne dabei jedoch seine mathematische Inspiration zu beeinträchtigen.

Im März des Jahres 1916 wurde Ramanujan der Bachelor of Arts für Wissenschaft verliehen. Der Abschluss wurde ihm für seine Forschung verliehen (Promotionen kamen in Cambridge erst ab 1917 auf und waren auch danach nicht unbedingt gefordert – einen höheren Status hatte die Fellowship eines Colleges) und war vor allem seiner Arbeit über hochzusammengesetzte Zahlen zu verdanken, die als Abhandlung in der Zeitschrift der London Mathematical Society veröffentlicht wurde.[24] Hardy meinte, diese Rechnungen zählten zu den bis dahin ungewöhnlichsten in der Mathematik, und dass Ramanujan sie mit außerordentlichem Scharfsinn bewältigte. Am 6. Dezember 1917 wählte man Ramanujan in die London Mathematical Society. Am 18. Februar 1918 wurde er zum Fellow of the Cambridge Philosophical Society ernannt. Drei Tage später erschien sein Name auf der Kandidatenliste für den Titel Fellow of the Royal Society (FRS). Er war von zahlreichen namhaften Mathematikern „für seine Untersuchung von elliptischen Funktionen und der Zahlentheorie“ vorgeschlagen worden. Unter anderem sprachen sich Hardy, Littlewood, Percy Alexander MacMahon, Joseph Larmor, Thomas John I’Anson Bromwich, Seth Barnes Nicholson, Alfred Young, Edmund Taylor Whittaker, Andrew Russell Forsyth und Alfred North Whitehead für ihn aus. Aber auch Hobson und Baker, die zwei Professoren, die Ramanujans Anfrage fünf Jahre zuvor unkommentiert zurückgeschickt hatten, befürworteten die Kandidatur. Die Auszeichnung erfolgte am 2. Mai. Ramanujan war damit erst der zweite Inder, dem diese Ehre zuteilwurde, und einer der jüngsten Fellows. Noch im selben Jahr, am 10. Oktober, erhielt er zusätzlich noch den Titel Fellow of Trinity College Cambridge.

 
Ramanujan (Mitte) und Hardy (rechts außen) mit anderen Wissenschaftlern am Trinity College

Trotz des wissenschaftlichen Erfolges und der Anerkennung durch Kollegen auf allen Kontinenten fühlte sich Ramanujan in Großbritannien nicht recht wohl. Auch lernte er nie, seinen Arbeitsalltag zu strukturieren. Es kam vor, dass er 30 Stunden durchgehend am Schreibtisch saß, um dann 20 Stunden lang zu schlafen. Das zehrte an seiner Gesundheit. Zudem litt er unter dem ungewohnten rauen Wetter und hatte vermehrt Kreislaufprobleme. In Verzweiflung und aus Heimweh versuchte er einmal sogar, sich vor eine Londoner U-Bahn zu stürzen. Passanten konnten ihn zurückhalten.

Krankheit, Rückkehr nach Indien und TodBearbeiten

Ramanujan hatte zeitlebens gesundheitliche Probleme. Während seines Aufenthalts in England verschlechterte sich sein Zustand, wohl auch wegen des Mangels an vegetarischer Kost während des Ersten Weltkrieges. So war er bereits zweimal an Bakterienruhr erkrankt, als man bei ihm sowohl Tuberkulose als auch eine Hypovitaminose diagnostizierte. 1918 verbrachte er eine kurze Zeit in einem Sanatorium. Ende November desselben Jahres sah Godfrey Harold Hardy jedoch bereits Anzeichen für eine physische Besserung des Gesundheitszustandes Ramanujans und schrieb in einem Brief an Dewsbury, dass er fast 15 Pfund zugenommen habe und seine Körpertemperatur stabil sei.[25]

Ramanujan beschloss, nach dem Ende des Krieges nach Indien zurückzureisen. Als Fellow der Royal Society bot man ihm in Madras eine Professur (Fellowship der Universität) an, die ihm mit 250 Pfund etwa den gleiche jährliche Einnahmen wie als Fellow der Royal Society brachte.[26] Ramanujan wollte aber erst seine Gesundheit wiederherstellen und spendete sogar zum Unwillen seiner Familie, die auf seine Unterstützung angewiesen war, Gelder aus seinem Einkommen bei der Royal Society.

Das Schiff legte am 27. Februar 1919 in England ab und erreichte Indien am 13. März. Seine Mutter empfing ihn in Madras, Familienkonflikte brachen wieder auf, als Ramanujan darauf bestand, dass seine Frau Janaki, nunmehr 18 Jahre alt, zu ihm kam. Sein Wesen hatte sich verändert, statt herzlich und freundschaftlich wie vor seiner Abreise erschien er seinen Freunden nun depressiv, kalt und mürrisch, er war nicht mehr wohlgenährt wie vor seiner Abfahrt, sondern sah kränklich und abgemagert aus.[27] Es wurde erwogen, ihn in ein Sanatorium zu schicken, aber Ramanujan war misstrauisch gegen Ärzte geworden und verweigerte sich häufig ihrem Rat. Auf Hardys Drängen schickte man den Tuberkulosespezialisten und Professor in Madras P. S. Chandrasekhar zu Ramanujan, der eindeutig Tuberkulose diagnostizierte.[28]

Im Sommer zog die Familie vom heißen Madras ins kühlere Landesinnere, zunächst nach Kodumudi, wohin die Familie der Mutter gute Verbindungen hatte, ab Anfang September in das weniger abgelegene Kumbakonam. Anfang 1920 war Ramanujan wieder in Chetpet, einem Vorort von Madras, wo er noch einmal eine produktive Phase erlebte. Am 12. Januar 1920 schrieb er Hardy über die Entdeckung der Mock-Thetafunktionen. Bis vier Tage vor seinem Tod arbeitete er trotz Fieber und Schmerzen an seinen mathematischen Notizbüchern, deren Blätter seine Frau in einer Schachtel sammelte.[29]

Ramanujan starb am 26. April 1920 in Chetpet im Haus Gometra außerhalb der Huntington Road.[30] Seine Witwe lebte bis zu ihrem Tod 1994 in Triplicane, einem Stadtteil von Madras, wo sie später ihren Unterhalt überwiegend als selbständige Schneiderin verdiente (und eine kleine Rente der Universität Madras erhielt) und einen angenommenen Sohn einer verstorbenen Freundin (W. Narayanan) großzog.[31]

Der Arzt D. A. B. Young untersuchte 1994 Ramanujans Krankenakten und medizinischen Unterlagen und äußerte die Vermutung, er sei nicht an Tuberkulose, sondern an Amöbenruhr gestorben, die damals in Madras grassierte. Zudem war er der Meinung, dass Ramanujans Bakterienruhr nicht vollständig abgeklungen sei und die Erreger im Körper verblieben waren. So konnte sich die Amöbenruhr später umso schneller entwickeln.

Das WerkBearbeiten

Ramanujan beschäftigte sich während der fünf Jahre in England hauptsächlich mit der Zahlentheorie. Dabei wurde er durch viele Summenformeln, die Konstanten wie die Kreiszahl π, Primzahlen und Partitionsfunktionen enthalten, berühmt und er war ein Meister der Behandlung von Kettenbrüchen. Unter anderem erstellte er eine sehr gute Näherungsformel für die Berechnung des Ellipsenumfangs.

Zu seinen bekanntesten Erkenntnissen zählt eine Näherungsformel für die Berechnung der Kreiszahl π, die er 1914 veröffentlichte:[32]

 
Nach 9 Iterationen von Ramanujans π-Verfahren ergibt sich ein Näherungsbruch mit 80-stelligem Zähler
 

Das Verfahren konvergiert schnell und liefert schon nach zehn Schritten 88 Stellen. 1985 nutzte Bill Gosper diesen Ansatz, um π auf 17 Millionen Stellen hinter dem Komma zu bestimmen.

Insgesamt fand Ramanujan in Cambridge etwa 3.900 mathematische Resultate, in der Mehrzahl Identitätsgleichungen, von denen die meisten im Nachhinein bewiesen werden konnten.

In den Jahren der gemeinsamen Arbeit mit Hardy entstanden zahlreiche Werke über hochzusammengesetzte Zahlen, Mock-Thetafunktionen (Pseudo-Thetafunktionen) (siehe Modulform), die lange rätselhaft waren, deren Theorie aber um 2010 einen großen Aufschwung erhielt (Sander Zwegers, Kathrin Bringmann, Ken Ono), sowie die nach ihm benannte Vermutung über die tau-Funktion, die 1974 von Pierre Deligne bewiesen wurde. Gemeinsam bewiesen sie den Satz von Hardy und Ramanujan. Dieser Satz liefert die bis heute genaueste Schätzung für die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer ganzen Zahl.

Weitere Aufmerksamkeit fand seine asymptotische Formel für die Partitionsfunktion   (die die Anzahl der Zerfällungen einer natürlichen Zahl n angibt) von Hardy und Ramanujan (1918):[33]

 .

Sie gibt zum Beispiel für   einen nur um 1,4 % zu hohen Wert an, der bei rund   liegt. Hardy und Ramanujan fanden eine exakte Formel für die Partitionsfunktion, deren erstes Glied der obige asymptotische Wert ist. Das beeindruckte auch den englischen Spezialisten für Kombinatorik Percy Alexander MacMahon, der Tafeln für die Partitionsfunktion mit Hilfe einer Formel von Euler berechnet hatte – der Wert p(200), von MacMahon in mühseliger Handarbeit tabelliert, ergab sich aus Ramanujans Formel unmittelbar. Die Arbeit zur Partitionsfunktion war auch der Ursprung der Kreismethode, die später von Hardy und Littlewood zu einer zentralen Methode der analytischen Zahlentheorie gemacht wurde.

Um Beispiele für die Art von Ramanujans Resultaten zu geben, seien hier ein paar weitere Gleichungen aufgeführt, die Ramanujan fand:

 
 [34]
 [35] … mit dem goldenen Schnitt  
 [35]

Aufgrund seiner Arbeit wurden eine Reihe von mathematischen Konzepten nach ihm benannt:

Magisches QuadratBearbeiten

 
Das magische Quadrat von Ramanujan. Gleichfarbige Felder ergeben die Summe von 139, die erste Zeile – unten rechts farbig hervorgehoben – zeigt sein Geburtsdatum.

Ein ganzes Kapitel des ersten Notizbuchs ist magischen Quadraten gewidmet. Von ihm stammt das nebenstehende Quadrat, dessen erste Zeile sein Geburtsdatum zeigt.

Ramanujans Methoden und BildungslückenBearbeiten

Nicht alle Resultate Ramanujans waren exakt. In einem seiner ersten Briefe gab er eine Formel für die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer festen Zahl x in Form einer unendlichen Reihe an, die zwar für Werte bis etwa 1000 eine exakte Übereinstimmung ergab (und auch für weit höhere Werte noch eine relativ gute Näherung war), aber wie Littlewood fand, insgesamt nicht exakt war.[36] Die Formel war ähnlich der von Bernhard Riemann, nur dass Ramanujans Formel die komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionen nicht berücksichtigte.[37] Obwohl Ramanujan in der analytischen Zahlentheorie (und besonders der Primzahlverteilung) aufgrund seiner Kenntnismängel und der gerade hier – wo häufig scheinbar plausible Hypothesen sich im Nachhinein als falsch herausstellten –[38] wichtigen Notwendigkeit strenger Beweise zwangsläufig scheitern musste (Littlewood),[39] hielt Littlewood seine Beiträge dazu für eine seiner außerordentlichsten Leistungen.[40]

Ein Manko Ramanujans war, dass er nichts von der Theorie der Funktionen komplexer Variabler wusste (selbst seine Kenntnisse über elliptische Funktionen hatte er aus der eigenwilligen Darstellung des Lehrbuchs von Alfred George Greenhill),[41] wie Hardy noch in seinem Buch über Ramanujan konstatierte.[42] Später lernte er zwar etwas Funktionentheorie, benutzte aber zu Hardys Erstaunen nicht den Cauchyschen Integralsatz oder den Residuenkalkül, obwohl sie ihm als Formalisten hätten liegen müssen. Hardy charakterisierte Ramanujan als Meister im Umgang mit algebraischen Formeln und unendlichen Reihen, wie Hardy selbst es bei keinem ihm bekannten Mathematiker gesehen habe und was ihn nur mit Euler oder Jacobi vergleichbar mache.[43] Er arbeitete auch mehr als andere Mathematiker nach Hardy durch Induktion von numerischen Beispielen, zum Beispiel bei den von ihm entdeckten Kongruenzen der Partitionsfunktion. Nach Hardy vereinigte er ein außerordentliches Gedächtnis, Geduld und Ausdauer und außerordentliche rechnerische Fähigkeiten mit einer Fähigkeit zur Verallgemeinerung und zur raschen Änderung der von ihm aufgestellten Hypothesen sowie mit einem Gefühl für Form, die in Staunen versetzte und ihn auf seinem Gebiet zu seiner Zeit einzigartig machte.[44] Er sah es weniger als Tragödie an, dass Ramanujan früh verstarb (nach Hardy waren Mathematiker mit 30 Jahren sowieso schon relativ alt), als dass er in seinen frühen Jahren in Indien nicht gefördert wurde und so ein verzerrtes Bild der Mathematik erhalten hatte.[45] Nach Hardy wäre er trotz profunder und unbezwingbarer Originalität ein größerer Mathematiker geworden, wäre er in seiner Jugend etwas gezähmt worden,[46] dann aber weniger ein Ramanujan als ein europäischer Professor geworden, und der Verlust wäre möglicherweise größer als der Gewinn gewesen.[47] Hardy schrieb[43], dass er oft gefragt würde, ob Ramanujan ein spezielles Geheimnis und „abnorme“ Methoden gehabt hätte, die ihn von anderen Mathematikern abhoben. Zwar könne er das nicht mit Sicherheit beantworten, glaube es aber nicht.[48]

AnekdotenBearbeiten

Eine Geschichte, die die rechnerischen Leistungen Ramanujans zum Ausdruck bringt, stammt von Hardy selbst, der sie nach Ramanujans Tod erzählte[49][50]. Hardy war mit einem Taxi mit der Nummer 1729 zu Ramanujan gefahren, hatte ein wenig über die Zahl nachgedacht, aber ohne etwas Besonderes zu finden, und teilte Ramanujan statt einer Begrüßung enttäuscht mit, was für eine uninteressante, nichtssagende Zahl das doch sei. Ramanujan, der noch im Bett lag, widersprach sogleich: 1729 sei die kleinste natürliche Zahl, die sich auf zwei unterschiedliche Weisen als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lasse. Hardy fragte zurück, ob er auch die Antwort auf das entsprechende Problem für vierte Potenzen wisse. Nach kurzem Nachdenken meinte Ramanujan, ihm falle kein Beispiel ein, aber die erste derartige Zahl müsse sehr groß sein.[51]

Die Zahl   wird mittlerweile auch als Hardy-Ramanujan-Zahl bezeichnet und ist die zweite Taxicab-Zahl. Die kleinste Lösung für die vierte Potenz ist  .

J. E. Littlewood äußerte einmal, dass jede positive ganze Zahl Ramanujans persönlicher Freund sei.[40]

Eine weitere Geschichte hat Prasanta Chandra Mahalanobis überliefert, Ramanujans Freund aus Cambridge. Er stieß in Ramanujans Zimmer auf eine Denksportaufgabe des Strand Magazine vom Dezember 1914. Gegeben war eine Reihe von Häusern mit fortlaufenden Hausnummern 1, 2, 3…. Gesucht war die Nummer desjenigen Hauses, bei dem die Summen aller Hausnummern rechts bzw. links davon gleich sind, wenn die Anzahl der Häuser größer als 50 und kleiner als 500 ist. Mahalanobis fand nach kurzem Nachdenken die Hausnummer 204 bei einer Gesamtzahl von 288 Häusern als einzige Lösung im gegebenen Intervall:

 

Als er dann Ramanujan die Aufgabe vorlas, fand dieser nicht nur ebenso schnell diese spezielle Lösung, sondern formulierte dazu noch eine allgemeine Lösung für beliebig lange Straßen in Form eines Kettenbruchs.[52]

Sonstige Interessen und Ansichten RamanujansBearbeiten

Laut Hardys Schilderungen interessierte sich Ramanujan nur geringfügig für Literatur und Kunst,[53] konnte aber gute von schlechter Literatur unterscheiden. Seine Englischkenntnisse waren so dürftig, dass er damit kein Examen hätte bestehen können;[54] mathematische Abhandlungen in deutscher oder französischer Sprache konnte er überhaupt nicht lesen. Er war sehr an Philosophie interessiert, politisch war er radikaler Pazifist. Er achtete zwar sehr auf die Einhaltung seiner religiösen Konventionen, war aber nicht tief religiös, sondern der Ansicht, alle Religionen glichen einander mehr oder weniger. Er interessierte sich für Ungewöhnliches, Unerwartetes und Merkwürdiges und besaß eine kleine Sammlung von Büchern von Kreisquadrierern und anderen Cranks (Hardy). Ramanujan lieferte selbst eine geometrische Konstruktion zur genäherten Quadratur des Kreises.

NotizbücherBearbeiten

Ramanujans persönliche Aufzeichnungen waren teilweise für einige Jahre verschollen. Seine Witwe übergab die vier Notizbücher und einige wenige Manuskripte nach seinem Tod der University of Madras. Drei Jahre später sandte der dortige Registrar Francis Drewsbury diese an Godfrey Harold Hardy an die Universität von Cambridge (das Original des ersten und zweiten Notizbuchs kehrte später wieder an die Universität Madras zurück, aber nicht alle übersandten Schriften Ramanujans, darunter auch nicht das Verlorene Notizbuch).

Ursprünglich war eine Veröffentlichung der Notizbücher schon mit den Collected Papers 1927 geplant, kam aber aus finanziellen Gründen nicht zustande. 1929 planten Bertram Martin Wilson und George Neville Watson eine Herausgabe der Notizbücher, was aber durch Wilsons Tod 1935 zum Erliegen kam (1957 veröffentlichte das Tata Institute for Fundamental Research in Bombay eine photostatische Kopie in zwei Bänden, mit dem ersten, zweiten und dritten Notizbuch). Ende der 1930er Jahre verlor Watson das Interesse an der Herausgabe, seine Notizen und die von Wilson dienten aber später Berndt und Andrews bei deren Edition und Watson veröffentlichte über Material aus den Notizbüchern.[55] Die Notizbücher wurden später durch George E. Andrews und Bruce Berndt herausgegeben.

Eines der Notizbücher – das vierte – ist als Verlorenes Notizbuch bekannt (Lost Notebook). Nach Watsons Tod im Jahre 1965 untersuchte Robert Alexander Rankin dessen Nachlass und schickte die dort noch vorhandenen Ramanujan’schen Schriften am 26. Dezember 1968 an die Wren Library des Trinity College. Dort wurde das Lost Notebook, das in einer Schachtel mit ehemals Watson gehörenden Gegenständen lag, im Frühling des Jahres 1976 von George E. Andrews aufgefunden. Die vier Bücher und die Manuskripte enthielten insgesamt 3000 bis 4000 von Ramanujan[56] aufgestellte mathematische Formeln (im ersten Notizbuch 759 Resultate). Zu keiner jedoch war ein Beweis beigefügt.[57] Gemeinsam mit Bruce Berndt, einem Mathematiker von der University of Illinois at Urbana-Champaign, bewies Andrews einen großen Teil der Formeln (unter Benutzung von Unterlagen von Wilson und Watson und unter Beteiligung weiterer Mathematiker). Berndt äußerte sich folgendermaßen über die Entdeckung der Notizbücher:

„Die Entdeckung dieses verlorenen Notizbuches verursachte ungefähr so viel Aufruhr in der mathematischen Welt, wie die Entdeckung von Beethovens zehnter Symphonie in der musischen Welt verursachen würde.“[58]

Das zweite Notizbuch ist eine Erweiterung und Bearbeitung des ersten Notizbuchs und entstand vor Ramanujans Aufenthalt in England. Beide haben über 300 Seiten und sind zum großen Teil thematisch geordnet (im Zweiten Notizbuch 21 Kapitel von 256 Seiten und rund 100 Seiten nicht organisiertes Material). Rund 120 Ergebnisse teilte er Hardy brieflich mit (wobei vom ersten Brief eine Seite fehlt). Das dritte Notizbuch besteht aus nur 33 Seiten. Das Lost Notebook entstand nach Ramanujans Rückkehr nach Indien und enthält unter anderem Material zu den Mock-Thetafunktionen, Rogers-Ramanujan-Kettenbrüchen und q-Reihen.

Am 22. Dezember 1987 (Ramanujans 100. Geburtstag) wurde Ramanujan’s Lost Notebook im mit dem Springer-Verlag vernetzten Narosa Publishing House veröffentlicht. Die ersten beiden Exemplare des Buches händigte der damalige indische Premierminister Rajiv Gandhi an S. Janaki Ammal Ramanujan, die Witwe des Mathematikers, und an George E. Andrews aus. Zu einigen Formeln konnten allerdings bis heute keine Beweise gefunden werden und Mathematiker rätseln noch immer über ihre Bedeutung.

EhrungenBearbeiten

Auszeichnungen zu seinen LebzeitenBearbeiten

Postume EhrungenBearbeiten

  • Jahre nach Ramanujans Tod wurde Hardy von dem ungarischen Mathematiker Paul Erdős gefragt, worin sein größter Beitrag zur Mathematik bestehe. Oder zu zögern, nannte Hardy die Entdeckung Ramanujans und bezeichnete sie als „den einzigen romantischen Vorfall in meinem Leben“.[59]
  • 1962 ließ die indische Regierung eine Briefmarke mit dem Konterfei Ramanujans drucken, um an seinen 75. Geburtstag zu erinnern. Heutzutage ziert der Mathematiker viele verschiedene indische Briefmarken.
  • Im indischen Bundesstaat Tamil Nadu, Ramanujans Heimatstaat, feiert man jedes Jahr am 22. Dezember, seinem Geburtstag, den so genannten State IT Day. Damit soll an die Wurzeln dieses Wissenschaftlers und seine Herkunft aus Tamil Nadu erinnert werden. Das Haus in der Saarangapani Street in Kumbakonam, in dem Ramanujan zusammen mit seiner Familie den größten Teil seiner Kindheit verbracht hat, beherbergt heute ein umfangreiches Museum über den Mathematiker.
  • Seit 2005 werden in Gedenken an Ramanujan der ICTP Ramanujan Prize sowie der SASTRA Ramanujan Prize verliehen.
  • 2019 veröffentlichte ein Forscherteam um Gal Raayoni vom Technion einen Fachaufsatz über eine von ihnen entwickelte Software, die nach Ansicht ihrer Urheber die Arbeitsweise Ramanujans imitieren soll. Das Computerprogramm, genannt die „Ramanujan-Maschine“, soll nach dem Trial-and-Error-Verfahren bisher unbekannte verschachtelte Formeln gefunden haben, die den Wert wichtiger Konstanten wie Pi, der Eulerschen Zahl e oder Werte der riemannschen Zeta-Funktion ergeben.[60] Frank Calegari kritisierte die Behauptungen des Forscherteams als intellektuelle Hochstapelei.[61]
  • Der am 17. Februar 1988 entdeckte Asteroid (4130) Ramanujan wurde 1989 nach ihm benannt.[62]

Bezüge auf Ramanujan in der KulturBearbeiten

  • Im Film Good Will Hunting wird Ramanujan von Mathematikprofessor Gerald Lambeau als Vergleich für die Hochbegabung des jungen Will Hunting angeführt.
  • Das Drama First Class Man, basierend auf dem gleichnamigen Roman von David Freeman, handelt von Ramanujan und seiner Arbeitsbeziehung zu Hardy.
  • 2014 erschien der biographische Film Ramanujan.[65]

SchriftenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Godfrey Harold Hardy: Obituary, S. Ramanujan. Nature, Band 105, 1920, S. 494–495.
  • Godfrey Harold Hardy: Ramanujan – Twelve Lectures on the Subjects Suggested by His Life and Work. Chelsea Publishing Co, 1940, 1978 ISBN 0-8284-0136-5.
  • Godfrey Harold Hardy: Srinivasan Ramanujan (1887-1920), Proc. London Math. Soc., Band 19, 1920, S. XL-LVIII, wieder abgedruckt in Hardy u. a. Ramanujan. Collected Papers, Cambridge UP, 1927, S. XXI-XXXVI (mit kleineren Änderungen auch in den Proc. Roy. Soc., 1921)
  • Robert Kanigel: Der das Unendliche kannte. Vieweg-Verlag, 2. Auflage 1995, ISBN 3-528-16509-X, deutsche Übersetzung durch Albrecht Beutelspacher von The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. Charles Scribner’s Sons, New York 1991. ISBN 0-684-19259-4.
  • Eric Harold Neville: Srinivasa Ramanujan. Nature, Band 149, 1942, S. 292–295
  • S. R. Ranganathan: Ramanujan: the Man and the Mathematician, Bombay: Asia Publishing House 1967
  • Suresh Ram: Srinivasa Ramanujan, New Delhi, National Book Trust, 1972.
  • K. Srinivasa Rao: Srinivasa Ramanujan – A Mathematical Genius. East West Books, 1998.
  • George E. Andrews (Hrsg.): Ramanujan revisited. (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988
  • George E. Andrews, Robert Alexander Rankin: Ramanujan: Essays and Surveys. American Mathematical Society, 2001, ISBN 978-0-8218-2624-9.
  • Bruce C. Berndt: An Overview of Ramanujan’s Notebooks. In: Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe. (Hrsg. P. L. Butzer, W. Oberschelp, H. Th. Jongen), Turnhout, 1998. S. 119–146.
  • Berndt, Bhargava: Ramanujan for lowbrows. American Mathematical Monthly, Band 100, 1993, S. 644.
  • Don Zagier: Ramanujan an Hardy. Vom ersten bis zum letzten Brief. Mitteilungen DMV, Band 18, 2010, S. 21–28, pdf.

WeblinksBearbeiten

Commons: Srinivasa Ramanujan – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 10
  2. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 24
  3. [1], abgerufen am 28. März 2020
  4. [2], abgerufen am 28. März 2020
  5. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 69
  6. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 77
  7. P. V. Seshu Iyer: The Late Mr. S. Ramanujan, B.A., F.R.S. Juni 1920. In: Journal of the Indian Mathematical Society 12 (3). 83. Zitiert nach Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 81
  8. Der Brief ist abgedruckt in Hardy u. a. (Hrsg.), Ramanujan, Collected Papers, Cambridge UP 1927, S. XXIII-XXVII
  9. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, Vieweg 1995, S. 141, 142
  10. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 146
  11. Hardy schildert seine Reaktion auf den Brief in: Hardy, Ramanujan, Cambridge UP 1940, S. 8–9
  12. Hardy, Ramanujan, 1940, S. 9
  13. Hardy, Ramanujan, 1940, S. 9, Hardy: The series formulae .... I found much more intriguing, and it soon became obvious that Ramanujan must posess much more general theorems and was keeping a great deal up his sleave.
  14. Nach Hardy, Ramanujan, 1940, S. 9. Gemeint ist Bailey: Generalized Hypergeometric Series, Cambridge UP 1932
  15. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 148
  16. Dougall-Ramanujan-Identity, Mathworld
  17. Hardy, Ramanujan, 1940, S.9. Hardy: I had never seen anything in the least like them before. A single look at them is enough to show that they could only been written down by a mathematician of the highest class. They must be true because, if they were not true, no one would have had the imagination to invent them. Finally (you must remember that I knew nothing whatever about Ramanujan, and had to think of every possibility), the writer must be completely honest, because great mathematicians are commoner than thieves or humbugs of such incredible skill.
  18. a b Hardy: Obituary, S. Ramanujan, Nature, Band 105, 1920, S. 494–495.
  19. Eric Harold Neville: Srinivasa Ramanujan, Nature, Band 149, 1942, S. 292–295.
  20. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 153
  21. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 156
  22. I can believe that he is at least a Jacobi. Brief an Hardy 1913.
  23. Godfrey Harold Hardy: Collected Papers of G. H. Hardy. Cambridge UP 1927, S. XXXV.
  24. Ramanujan: On highly composite numbers. Proc. London Math. Soc., Series 2, Band 14, 1915, S. 347–400. Aus finanziellen Gründen konnte Ramanujans Aufsatz damals nicht vollständig veröffentlicht werden, das unveröffentlichte Material erschien in Ramanujan: The lost notebook and other unpublished papers. Narosa Publ. House, Springer, New Delhi 1988 und in Jean-Louis Nicholas, Guy Robin (Herausgeber und Anmerkungen), Ramanujan: Highly composite numbers. Ramanujan Journal, Band 1, 1997, S. 119–153, PDF.
  25. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 274
  26. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 277
  27. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 282
  28. Kanigel, Der das Unendliche kannte, 1995, S. 285
  29. Kanigel, Der das Unendliche kannte, 1995, S. 292
  30. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 1995, S. 292
  31. Ramanujan´s wife Janakiammal (Janaki). PDF.
  32. Ramanujan: Modular equations and approximations to  . In: Quarterly Journal of Mathematics. Band 45, 1914, S. 350–372, siehe auch Jonathan Borwein, Peter Borwein, D. H. Bailey, Ramanujan: Modular equations and approximations to pi or how to compute one billion digits of pi. In: American Mathematical Monthly. Band 96, 1989, S. 201–219. pdf.
  33. Hardy, Ramanujan: Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis. Proc. London Math. Soc., Band 17, 1918, S. 75–115, pdf.
  34. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 77
  35. a b Eric W. Weisstein: Ramanujan Continued Fractions. In: MathWorld (englisch).
  36. Kanigel: The man who knew infinity. S. 218.
  37. Brief von Hardy an Ramanujan vom 26. März 1913. Nach Bruce Berndt, Robert Rankin: Ramanujan, Letters and Commentary. AMS S. 77.
  38. Hardy: Ramanujan. 1940, S. 19, the analytical theory of numbers is one of those exceptional branches of mathematics in which proof really is everything and nothing short of absolute rigor counts
  39. Littlewood: A mathematician’s miscellany. Methuen 1953, S. 87, Besprechung der Collected Papers von Ramanujan.
  40. a b Hardy, in: Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge University Press, 1927, S. XXXV.
  41. Littlewood: A mathematician’s miscellany. Hardy schrieb dagegen (Ramanujan, 1940, S. 10), er wüsste nicht genau, woher Ramanujans Kenntnisse auf diesem Gebiet stammen und ob er Greenhill oder Cayley gelesen hätte und bedauerte, Ramanujan damals nicht gefragt zu haben.
  42. Hardy: Ramanujan. 1940, S. 14. Analysis proper Ramanujan’s work is less impressive, since he knew no theory of functions, and you cannot do real analysis without it.
  43. a b Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXV.
  44. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXV. Nochmals zitiert und von Hardy bestätigt in Hardy: Ramanujan. 1940, S. 14, He was by far the greatest formalist of his time, auch wenn die große Zeit der Formeln in der Mathematik schon rund 100 Jahre vorbei wäre.
  45. Hardy: Ramanujan. 1940, S. 6, during his five unfortunate years, his genius was misdirected, sidetracked and to an certain extent distorted.
  46. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXVI.
  47. Diesen Zusatz aus seinem Vorwort zu Ramanjans Collected Papers tat Hardy später in seinem Buch Ramanujan von 1940, S. 7, allerdings als lächerliche Sentimentalität seinerseits ab.
  48. Hardy: „My belief is that all mathematicians think, at bottom, in the same kind of way, and that Ramanujan was no exception.“
  49. The Hardy-Ramanujan Number. (Memento vom 28. Mai 2013 im Internet Archive).
  50. Hardy in Hardy u. a. (Hrsg.), Ramanujan, Collected Works, 1927, S. XXXV, nochmals von Hardy zitiert in Hardy, Ramanujan 1940, S. 12
  51. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 276.
  52. Robert Kanigel, Der das Unendliche kannte, 2. Auflage, Vieweg, 1995, S. 191
  53. Hardy in: Ramanujan, Collected Papers. 1927, S. XXXI, zu seinen außermathematischen Interessen.
  54. Hardy in: Collected Papers. S. XXV.
  55. Die Geschichte der Notizbücher ist im Vorwort der Ausgabe von Berndt und Andrews dargestellt. Siehe auch Berndt: An overview of Ramanjuans notebooks. PDF.
  56. Schätzung von Hardy, durch Berndt bestätigt. Berndt: An overview of Ramanjuans notebooks. PDF. Danach gab es 3254 Resultate in den Notizbüchern, mit Interpretationsspielraum bei der Zählung. Nach Berndt war mindestens die Hälfte der Resultate neu (nicht nur ein Drittel, wie Hardy schätzte).
  57. abgesehen von etwa 10 bis 20 Resultaten, die eine Beweisskizze enthielten (Berndt), manchmal nur aus einem Satz bestehend.
  58. „Raiders of the Lost Notebook“. Englischer Text über den Versuch, die Formeln der Notizbücher zu beweisen.
  59. Hardy: Ramanujan. Cambridge University Press, 1940, S. 2, I owe more to him as to anyone else in the world with one exception, and my association with him is the one romantic incident in my life.
  60. »Ramanujan-Maschine«: Computer mit legendärer Mathe-Intuition. Spektrum 10. Juli 2019.
  61. Frank Calegari, The Ramanujan machine as intellectual fraud, Blog von Calegari, 17. Juli 2019, abgerufen 1. August 2019
  62. Minor Planet Circ. 15261.
  63. Amita Ramanujan in der US-TV-Serie Numb3rs.
  64. Ulrich Möller-Arnsberg: Die Münchner Biennale 1998. Das Eigene im Fremden – das Fremde im Eigenen. In: GEMA-Nachrichten 157. Juni 1998, archiviert vom Original am 7. Januar 2002; abgerufen am 2. Dezember 2010.
  65. Ramanujan in der Internet Movie Database (englisch)
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