Proendliche Vervollständigung

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.

DefinitionBearbeiten

Für eine (diskrete) Gruppe   betrachtet man das inverse System  , wobei   über alle Normalteiler   von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung   von   als den inversen Limes dieses Systems

 

in der Kategorie der topologischen Gruppen.

Universelle EigenschaftBearbeiten

Die proendliche Vervollständigung   ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus   hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus   in eine proendliche Gruppe   gibt es einen stetigen Homomorphismus   mit  .

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Wenn   endlich erzeugt ist, dann ist jede Untergruppe von endlichem Index   offen und  .[1]
  • Wenn   endlich erzeugt ist, dann gilt für jede endliche Gruppe  
 .[2]
  • Für eine Gruppe   bezeichne   die Menge aller endlichen Faktorgruppen von  . Dann gilt für endlich erzeugte Gruppen   und  :
 .[3]

BeispieleBearbeiten

Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen   ist
 .
Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen Zahlen über alle Primzahlen  :
 .
 .
  • Der natürliche Homomorphismus
 
ist genau dann injektiv, wenn   residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.

LiteraturBearbeiten

Ribes, Luis; Zalesskii, Pavel: Profinite groups. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 40. Springer-Verlag, Berlin, 2010. ISBN 978-3-642-01641-7

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ribes-Zalesskii, op.cit., Proposition 3.2.2
  2. Nikolov, Nikolay; Segal, Dan: On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 1, 171–238.
  3. Ribes-Zalesskii, op.cit., Corollary 3.2.8