In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

Definition

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Sei   eine offene Teilmenge. Eine Funktion   heißt harmonisch in  , falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle  

 

gilt. Dabei bezeichnet   den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft

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Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion   ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

 

für alle Kugeln   mit  . Hierbei bezeichnet   den Flächeninhalt der  -dimensionalen Einheitssphäre (siehe Inhalt und Volumen der Einheitssphäre).

Weitere Eigenschaften

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Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

  • Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes   nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss  , so werden Maximum und Minimum auf dem Rand   angenommen.
  • Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
  • Abschätzung der Ableitungen: Sei   harmonisch in  . Dann gilt für die Ableitungen
     
    wobei   das Volumen der  -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
  • Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
  • Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion   ist konstant.
  • Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge   gibt es eine Konstante  , die nur von dem Gebiet   abhängt, so dass für jede in   harmonische und nichtnegative Funktion  
     
    gilt.
  • Im Sonderfall   für ein einfach zusammenhängendes Gebiet   können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
  • Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Beispiel

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Die Grundlösung

 

ist eine auf   harmonische Funktion, worin   das Maß der Einheitssphäre im   bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Verallgemeinerungen

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Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

 

Für   (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

Literatur

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  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).