Plücker-Koordinaten

Koordinaten für Geraden im 3-dimensionalen Raum

Plücker-Koordinaten sind Koordinaten für Geraden im 3-dimensionalen Raum. Benannt sind sie nach Julius Plücker. Sie sind ein Spezialfall der allgemeineren Graßmann-Plücker-Koordinaten.

Um eine Gerade im 3-dimensionalen projektiven Raum zu beschreiben, wählen wir zwei auf der Geraden liegende Punkte und mit homogenen Koordinaten und und definieren für alle

.

Im ist der Punkt mit homogenen Koordinaten

wohldefiniert, unabhängig von der Wahl der homogenen Koordinaten für und . Weil die Determinante multilinear und alternierend ist, hängen diese Koordinaten nur von der Gerade und nicht von den auf der Geraden gewählten Punkten und ab.

Die sechs Koordinaten genügen der Plücker-Relation

.

Diese Gleichung beschreibt eine kegelige Quadrik im , die als Kleinsche Quadrik bezeichnet wird. Die Geraden im werden also durch die Punkte der Kleinschen Quadrik parametrisiert.

Mit den Koordinaten und kann man die Plücker-Relation auch als formulieren. Eine typische Anwendung ist die Beschreibung von in einer Ebene liegenden Geraden. Wenn eine Gerade durch die Koordinaten oder und eine zweite Gerade durch die Koordinaten oder gegeben ist, dann liegen die Geraden und genau dann in einer Ebene, wenn

gilt.

Des Weiteren liegt ein Punkt aus dem reellen Koordinatenraum genau dann auf der Gerade , wenn

,

dabei bezeichnet das Kreuzprodukt.

Literatur

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