In der Mathematik ist ein Multivektor eine formale Summe von Ausdrücken der Form
v
1
∧
v
2
∧
…
∧
v
n
{\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{n}}
Vektoren
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Physik und Elektrotechnik ist das Rechnen mit Multivektoren oft nützlich.
Mathematisch handelt es sich bei Multivektoren um Elemente der äußeren Algebra
Λ
∗
V
{\displaystyle \Lambda ^{*}V}
Vektorraumes
V
{\displaystyle V}
Algebra ist graduiert und ein
k
{\displaystyle k}
Λ
k
V
{\displaystyle \Lambda ^{k}V}
k
{\displaystyle k}
v
1
∧
v
2
∧
…
∧
v
k
{\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{k}}
Man spricht von Skalaren , Vektoren, Bivektoren und Trivektoren, wenn es sich um
k
{\displaystyle k}
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle k=0,1,2}
3
{\displaystyle 3}
Das für die Konstruktion von Multivektoren verwendete äußere Produkt ist multilinear (linear in jedem Argument), assoziativ und alternierend. Das heißt, dass für Vektoren
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,v,w}
V
{\displaystyle V}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
u
∧
(
α
v
+
β
w
)
=
α
u
∧
v
+
β
u
∧
w
;
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}
(
u
∧
v
)
∧
w
=
u
∧
(
v
∧
w
)
;
{\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}
u
∧
u
=
0.
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}
Wenn
e
1
,
…
,
e
d
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{d}}
V
{\displaystyle V}
(
d
k
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}d\\k\end{array}}\right)}
k
{\displaystyle k}
Λ
k
V
{\displaystyle \Lambda ^{k}V}
Sei
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{1},e_{2}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
u
=
u
1
e
1
+
u
2
e
2
,
v
=
v
1
e
1
+
v
2
e
2
,
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}
und der Bivektor
u
∧
v
{\displaystyle u\wedge v}
u
∧
v
=
|
u
1
v
1
u
2
v
2
|
(
e
1
∧
e
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}
Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also der Flächeninhalt des von den Vektoren
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
Parallelogramms .
Der Bivektor
e
1
∧
e
2
{\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}
Λ
2
R
2
{\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{2}}
Sei
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
u
=
u
1
e
1
+
u
2
e
2
+
u
3
e
3
,
v
=
v
1
e
1
+
v
2
e
2
+
v
3
e
3
,
w
=
w
1
e
1
+
w
2
e
2
+
w
3
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}
und der Bivektor
u
∧
v
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }
u
∧
v
=
|
u
2
v
2
u
3
v
3
|
(
e
2
∧
e
3
)
+
|
v
1
u
1
v
3
u
3
|
(
e
3
∧
e
1
)
+
|
u
1
v
1
u
2
v
2
|
(
e
1
∧
e
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}v_{1}&u_{1}\\v_{3}&u_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}
Mithilfe des Vektorraumisomorphismus
φ
:
R
3
→
Λ
2
(
R
3
)
{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}
e
1
↦
e
2
∧
e
3
e
2
↦
e
3
∧
e
1
e
3
↦
e
1
∧
e
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}\mapsto \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\\\mathbf {e} _{2}\mapsto \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{3}\mapsto \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\\end{aligned}}}
sieht man, dass die Komponenten des Bivektors
u
∧
v
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }
Kreuzprodukts
u
×
v
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }
φ
(
u
×
v
)
=
u
∧
v
{\displaystyle \varphi (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }
Der Trivektor
e
1
∧
e
2
∧
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}
Λ
3
R
3
{\displaystyle \Lambda ^{3}\mathbb {R} ^{3}}
u
∧
v
∧
w
=
|
u
1
v
1
w
1
u
2
v
2
w
2
u
3
v
3
w
3
|
(
e
1
∧
e
2
∧
e
3
)
.
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}).}
Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also das Volumen des von den Vektoren
u
,
v
{\displaystyle u,v}
w
{\displaystyle w}
Parallelepipeds .
Multivektoren und Multivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten
Bearbeiten
↑ Chiara Esposito: Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization . In: Springer Verlag (Hrsg.): Springer Briefs in Mathematical Physics Band 2 . 2014, S. 12 .
