In der Mathematik ist ein Lipschitz-Gebiet – oder auch Gebiet mit Lipschitz-Rand genannt – ein Gebiet im euklidischen Raum, dessen Rand in dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, dass dieser lokal der Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz benannt.

Die hier beschriebenen Gebiete werden auch als starke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, um eine Verwechselung mit den schwachen Lipschitz-Gebieten zu verhindern, die eine allgemeinere Klasse von Gebieten darstellen.

Definition

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Ein Gebiet   des euklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls sowohl positive Zahlen   und   existieren, als auch es eine lokal endliche Überdeckung   des Randes   gibt, so dass für jedes   eine reellwertige Funktion   von   Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten:[1]

1. Für eine Zahl   hat jede Teilfamilie von   mit   Elementen die leere Menge als gemeinsame Schnittmenge.
2. Für jedes Paar an Punkten   mit   existiert ein  , so dass
 
gilt.
3. Jede Funktion   erfüllt eine Lipschitz-Bedingung
 
mit der Lipschitz-Konstanten  .
4. Für ein kartesisches Koordinatensystem   in   ist die Menge   beschrieben durch
 .

Beschränkte Lipschitz-Gebiete

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Falls   ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet   ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt   eine Umgebung   existiert, so dass die Menge   der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.[2]

Eigenschaften

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Beispiele

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  • Die offene Kreisfläche ist ein  -Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet.[4]
  • Die Fläche eines offenen Rechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein  -Gebiet.[4]
  • Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche
 ,
wobei   ein Basisvektor der kanonischen Basis des   ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.[4]

Theorie partieller Differentialgleichungen

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In der Theorie der Sobolev-Räume tritt der Begriff des Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten des Einbettungssatzes von Sobolev, dass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit sind auch viele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, die im Kontext gewisser partieller Differentialgleichungen und Variationsproblemen untersucht werden.

Einzelnachweise

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  1. R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 66.
  2. a b R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 67.
  3. Giovanni Leoni: A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. 2. Auflage. American Mathematical Society, Pittsburgh 2017, ISBN 978-1-4704-2921-8, S. 274.
  4. a b c Peter Knabner, Lutz Angerman: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 978-1-4419-3004-0, S. 96.