Irrationale Rotationsalgebra

Art von C*-Algebra

Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.

Konstruktion

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V dreht den Definitionsbereich von Funktionen  

Im Folgenden sei   eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den  -Hilbertraum   der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe   mittels   mit dem Einheitskreis   identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren   und  :

 , wobei  

und

 

  ist ein Multiplikationsoperator und   rotiert eine Funktion um den Winkel  .

Die von   und   erzeugte C*-Algebra   heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel   und wird mit   bezeichnet.[D 1]

Eigenschaften

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  • Leicht bestätigt man  , in der Tat ist
 
 
 .
  • Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist   eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren   und   erzeugt wird, die die Relation   erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus   mit   und  .[D 2]
  •   ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer   und sich selbst.
  • Es gibt eine eindeutige Spur  , das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional   mit   für alle  ,   für alle   und  , wobei   das Einselement in   sei.[D 3]
  • Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in  .[1]
  • Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.

Alternative Konstruktion

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Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum   mit der Orthonormalbasis   vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren   durch:

  (zweiseitiger Shift),

  (unendliche Diagonalmatrix).

Dann bestätigt man leicht  , woraus   folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus  .

K-Theorie

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Nach einem Satz von Marc Rieffel[2] gibt es zu jedem   eine Projektion   mit  , wobei   die eindeutige Spur auf   sei.

Da   eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra  , die diese Gruppe als K0-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra  , die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit   in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung   konstruieren[3]. Daraus folgt zunächst   und dann[D 4]:

  • Zwei irrationale Rotationsalgebren   und   sind genau dann isomorph, wenn   ist.

Kreuzprodukt

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Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist   durch   definiert und ist  , so ist   ein C*-dynamisches System und es ist  .[D 5]

Einzelnachweise

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  1. I. Putnam: The invertibles are dense in the irrational rotation C*-algebras, J. reine angewandte Mathematik, Band 140 (1990), Seiten 160–166
  2. M. A. Rieffel: C*-algebras associated with irrational rotations, Pacific J. Math., Band 93 (1981), Seiten 415–429
  3. M. Pimsner, D. Voiculescu: Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra, Journal of Operator Theory, Band 4 (1980), Seiten 93–118

K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1:

  1. Kapitel VI: Irrational Rotation Algebra
  2. Theorem VI.1.4
  3. Satz VI.1.3
  4. Korollar VI.5.3
  5. Beispiel VIII.1.1