Heliumatom

mathematische Modellierung eines Helium-Atoms

Ein Heliumatom ist ein Atom des chemischen Elements Helium. Es ist zusammengesetzt aus zwei Elektronen, die durch die elektromagnetische Kraft an den Atomkern gebunden sind, der aus zwei Protonen und (je nach Isotop) einem oder zwei Neutronen besteht, die durch die starke Kraft zusammengehalten werden.

Anders als für Wasserstoff gibt es bislang keine geschlossene Lösung der Schrödingergleichung für das Heliumatom, d. h. die Energieniveaus lassen sich nicht exakt berechnen. Es gibt jedoch zahlreiche Näherungen, wie die Hartree-Fock-Methode, zum Abschätzen der Energieniveaus und der Wellenfunktion.

Eigenschaften der Atomhülle Bearbeiten

Helium ist im Periodensystem das zweite und letzte Element der ersten Periode. Da innerhalb einer Periode die Atomradien mit zunehmender Elektronenzahl abnehmen und Wasserstoff und Helium die einzigen Elemente sind, in denen nur die erste Elektronenschale besetzt ist, hat Helium von allen Elementen den kleinsten Atomradius und die höchste Ionisierungsenergie.

Zwischen Heliumatomen wirken nur Van-der-Waals-Kräfte. Aufgrund der Kleinheit der Atome können die Elektronenhüllen nur sehr geringfügig polarisiert werden. Daher sind die ohnehin sehr schwachen Van-der-Waals-Kräfte im Fall von Helium besonders klein. Dies erklärt den extrem niedrigen Siedepunkt von 4,2 K (−268,8 °C).

Elektronenzustände Bearbeiten

Ortho- und Parahelium Bearbeiten

Im Grundzustand befinden sich die Elektronen im Zustand 1s2, d. h. sie besetzen die beiden einzigen möglichen Zustände mit der Hauptquantenzahl 1 und dem Bahndrehimpuls 0. Die Spins der Elektronen sind antiparallel und addieren sich zum Gesamtspin S = 0 (Singulett-Zustand 1S0).

Der energetisch niedrigste Zustand mit S = 1 (Triplett-Zustand 3S1) hat die Elektronenstruktur 1s2s und liegt um 19,8 eV darüber.

Zustände mit S = 0 nennt man Parahelium, solche mit S = 1 Orthohelium. Übergänge zwischen Ortho- und Parahelium sind stark unterdrückt („verboten“). Der niedrigste Orthohelium-Zustand ist daher vergleichsweise langlebig.

Quantenmechanische Beschreibung Bearbeiten

 
Termschema für Para- and Orthohelium mit einem Elektron im Grundzustand 1s und einem angeregten Elektron.

Die quantenmechanische Beschreibung des Heliumatoms ist von besonderem Interesse, weil es das einfachste Mehrelektronenatom ist und auch zum Verständnis der Quantenverschränkung benutzt werden kann.[1]

Der Hamiltonoperator für Helium, betrachtet als 3-Körper-System (bestehend aus zwei Elektronen und dem Kern), kann im Schwerpunktsystem geschrieben werden als

 

wobei   die Elektronenmasse,   die Kernmasse,   die reduzierte Masse eines Elektrons in Bezug auf den Kern,   die Elektron-Kern-Abstandsvektoren sind und   ist. Die Kernladungszahl   von Helium beträgt 2. In der Näherung eines unendlich schweren Kerns   erhält man  , und der Massen-Polarisations-Term   verschwindet. In atomaren Einheiten vereinfacht sich der Hamiltonoperator zu

 

Es muss betont werden, dass der zugrundeliegende Raum nicht der gewöhnliche Raum, sondern ein 6-dimensionaler Konfigurationsraum   ist. In dieser Näherung (Pauli-Approximation) ist die Wellenfunktion ein Spinor zweiter Stufe mit 4 Komponenten  , wobei die Indizes   die Spin-Projektion der Elektronen im gewählten Koordinatensystem darstellen ( -Richtung up oder down).[2] Sie muss die übliche Normierungsbedingung   erfüllen. Dieser allgemeine Spinor kann als 2×2-Matrix   dargestellt werden und folglich auch als Linearkombination einer beliebigen Basis von vier (im Vektorraum der 2×2-Matrizen) orthogonalen konstanten Matrizen   mit skalaren Koeffizientenfunktionen   als  . Eine geeignete Basis wird gebildet aus einer antisymmetrischen Matrix (mit Gesamtspin  , entsprechend einem Singulett-Zustand)   und drei symmetrischen Matrizen (mit Gesamtspin  , entsprechend einem Triplett-Zustand)  ,    

Es ist leicht zu zeigen, dass der Singulett-Zustand invariant unter allen Drehungen ist (eine skalare Größe), während das Triplett auf einen gewöhnlichen Raumvektor   mit den drei Komponenten  ,   und   abgebildet werden kann.

Da im obigen (skalaren) Hamiltonian alle Spinwechselwirkungsterme zwischen den vier Komponenten von   vernachlässigt werden (z. B. ein externes Magnetfeld, oder relativistische Effekte wie Spin-Bahn-Wechselwirkungen), können die vier Schrödingergleichungen unabhängig voneinander gelöst werden.[3]

Der Spin kommt hier nur ins Spiel durch das Pauli-Prinzip, das für Fermionen (wie Elektronen) die Antisymmetrie bei simultaner Vertauschung von Spin und Koordinaten fordert, also:

 

Parahelium ist damit der Singulett-Zustand   mit einer symmetrischen Funktion   und Orthohelium ist der Triplett-Zustand   mit einer antisymmetrischen Funktion  . Wenn der Elektron-Elektron-Wechselwirkungsterm ignoriert wird (als erste Näherung), können beide Funktionen   als Linearkombinationen von zwei beliebigen (orthogonalen und normierten) Ein-Elektron-Eigenfunktionen   geschrieben werden:   oder für die Sonderfälle   (beide Elektronen haben identische Quantenzahlen, nur für Parahelium):  . Die Gesamtenergie (als Eigenwert von  ) ist dann in allen Fällen gleich   (unabhängig von der Symmetrie).

Das erklärt das Fehlen des  -Zustands (mit  ) für Orthohelium, wo folglich   (mit  ) der metastabile Grundzustand ist. (Ein Zustand mit den Quantenzahlen: Hauptquantenzahl  , Gesamtspin  , Drehimpulsquantenzahl   und Gesamtdrehimpuls   wird mit   bezeichnet.)

Wenn der Elektron-Elektron-Wechselwirkungsterm   einbezogen wird, ist die Schrödingergleichung nicht separabel. Aber auch dann, wenn er vernachlässigt wird, können alle oben beschriebenen Zustände (sogar mit zwei identischen Quantenzahlen, wie   mit  ) nicht als Produkt von Ein-Elektron-Wellenfunktionen geschrieben werden:   – die Wellenfunktion ist verschränkt. Man kann nicht sagen, Teilchen 1 ist in Zustand 1 und das andere in Zustand 2; und man kann keine Messungen an einem Teilchen ausführen, ohne das andere zu beeinflussen.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Heliumatom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikiversity: Helium – Periodensystem – Kursmaterialien (englisch)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John Stewart Bell: Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel. de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3, S. 42, 65.
  2. P. Rennert, H. Schmiedel, C. Weißmantel: Kleine Enzyklopädie Physik. VEB Bibliographisches Institut, Leipzig 1988, S. 192–194.
  3. L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik. Band III: Quantenmechanik. Akademie-Verlag, Berlin 1971, Kap. IX, S. 218.