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Die Spin-Bahn-Kopplung oder Spin-Bahn-Wechselwirkung ist eine in der Atom-, Kern- und Elementarteilchenphysik auftretende Wechselwirkung, deren Stärke von der Stellung des Spins des Teilchens relativ zu seinem Bahndrehimpuls abhängt. Bei gebundenen Teilchen führt die Spin-Bahn-Wechselwirkung zu einer Aufspaltung von Energieniveaus, die zur Feinstruktur des Niveauschemas beiträgt. Für die Elektronen der Atomhülle sind diese Effekte relativ geringfügig, haben aber wichtige Auswirkungen auf den Atombau.

Die Spin-Bahn-Wechselwirkung wird im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik durch einen eigenen Term in der Schrödingergleichung ausgedrückt, der das Skalarprodukt von Bahn- und Spindrehimpuls des Teilchens enthält. In der relativistischen Quantenmechanik ergibt sich ein entsprechender Energiebeitrag automatisch.

Gebundene TeilchenBearbeiten

Die Spin-Bahn-Wechselwirkung wurde bei den Elektronen in der Atomhülle zuerst beobachtet. Hier bewirkt sie eine Aufspaltung der Spektrallinien und trägt damit (neben relativistischen Effekten und dem Darwin-Term) zur Feinstruktur der Atomspektren bei. Ein bekannter Fall ist die Aufspaltung der gelben D-Linie von Natrium, die sich bereits mit einem guten Prisma beobachten lässt.

Wesentlich stärker ist die Spin-Bahn-Wechselwirkung für die Protonen und Neutronen im Atomkern (siehe Schalenmodell (Kernphysik)).

Halbklassische Deutung für ein ElektronBearbeiten

Nimmt man Eigendrehimpuls (Spin) und magnetisches Moment des Elektrons als vorgegeben, lässt sich die Spin-Bahn-Kopplung anschaulich schon im Bohrschen Atommodell begründen: Aus der Maxwelltheorie und der speziellen Relativitätstheorie folgt, dass auf ein Elektron, wenn es im elektrischen Feld eines Atomkerns kreist, ein magnetisches Feld wirkt. Im Ruhesystem des Elektrons wird nämlich eine kreisende Bewegung des Kerns wahrgenommen. Diese Bewegung stellt aufgrund der Ladung des Kerns einen Kreisstrom dar, welcher nach dem Gesetz von Biot-Savart ein Magnetfeld parallel zum Bahndrehimpulsvektor erzeugt. Das durch den Kreisstrom verursachte Magnetfeld entspricht in dieser klassischen Ansichtsweise dem magnetischen Moment des Bahndrehimpulses. Hinzu kommt der Spin des Elektrons (intrinsische Größe), welcher ebenfalls ein magnetisches Moment hervorruft. Diese magnetischen Momente können nun miteinander wechselwirken. Man stelle sich einen Stabmagneten, welcher den Spin repräsentiert, in dem Feld einer Spule vor, welches das Feld durch die Kreisbewegung darstellt. Es gibt nun eine energetisch günstige Ausrichtung, in der das Feld des Stabmagneten parallel zum Feld der Spule liegt, und eine ungünstige, in der das Feld des Stabmagneten antiparallel zum Feld der Spule liegt. Da das magnetische Moment des Elektrons zu seinem Spin antiparallel ist, ergibt sich für eine Spinrichtung parallel zum Feld eine höhere Energie und für die entgegengesetzte eine niedrigere. Da für einen Spin 1/2 nur diese zwei Einstellmöglichkeiten existieren, wird ein einzelnes Energieniveau in zwei Niveaus aufgespalten, und es gibt in den optischen Spektren zwei gegenüber der ursprünglichen Lage leicht verschobene Linien, die bei grober Betrachtung aber als eine erscheinen.

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird für jedes Elektron ein entsprechender Summand in der Schrödingergleichung hinzugefügt, in der relativistischen Quantenmechanik ergeben sich Spin, magnetisches Moment und Spin-Bahn-Wechselwirkung automatisch aus der Diracgleichung.

Spin-Bahn-Kopplungsenergie für ein ElektronBearbeiten

Der Operator für die Spin-Bahn-Wechselwirkung eines Elektrons im elektrostatischen Zentralfeld lautet[1]

 

Darin ist   die Spin-Bahn-Kopplungskonstante

 ,

die von der Stärke des durch die Bahnbewegung des Elektrons hervorgerufenen Magnetfelds   und seines magnetischen Moments   abhängt.

  bezeichnet die Elektronenmasse,   die Elektronenladung,   die magnetische Feldkonstante und   das reduzierte plancksche Wirkungsquantum,   den Abstand des Elektrons vom Atomkern.

Daraus ergibt sich für Zustände mit   folgende Energieverschiebung:

 

  ist die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses des Teilchens, der in halbzahligen Vielfachen von   gequantelt ist. Da der Entartungsgrad der Niveaus   ist, bleibt ihr gewichteter Schwerpunkt von der Spin-Bahn-Aufspaltung unbeeinflusst (Regel der Spektroskopischen Stabilität). Im Bohrschen Modell ist   der Bahnradius des Elektrons,   (  Hauptquantenzahl,   Bohrscher Radius). Daher ist   am größten für die innerste bohrsche Bahn ( ). Insgesamt wächst die Aufspaltung durch Spin-Bahn-Kopplung mit steigender Ordnungszahl   also wie  . In quantenmechanischer Behandlung ist der Faktor   durch den über das jeweilige Orbital genommenen Mittelwert   zu ersetzen. Bei Vernachlässigung der Einflüsse anderer Elektronen ergibt sich

 

Der Abstand zwischen den aufgespaltenen Niveaus zu   beträgt   (siehe auch Landésche Intervallregel). Er tritt z. B. bei der Röntgenphotoelektronenspektroskopie (XPS), bei der Absorption von Röntgenstrahlung und der Emission von charakteristischer Röntgenstrahlung experimentell in Erscheinung, weil diese Prozesse direkt von der Bindungsenergie einzelner Elektronen in inneren Schalen des Atoms abhängen.

Kopplungsschemata bei mehreren TeilchenBearbeiten

Wenn der Gesamtdrehimpuls des Atoms sich aus den Spins   und Bahndrehimpulsen   von mindestens zwei Teilchen ( ) zusammensetzt, gibt es verschiedene Möglichkeiten, Zwischensummen der Drehimpulse mit jeweils eigenen Quantenzahlen zu bilden. Diese Möglichkeiten werden als Kopplungsschema bezeichnet. Die wichtigsten sind die  -Kopplung mit Quantenzahlen   für die Gesamtdrehimpulse jedes einzelnen Teilchens, und die  -Kopplung mit Quantenzahlen   und   für die Summe Bahndrehimpulse bzw. Spins aller Teilchen. Grundsätzlich kann man jeden Mehrelektronenzustand wahlweise durch Überlagerung von  -Basiszuständen oder  -Basiszuständen darstellen. Fortgeschrittene Berechnungen der Struktur der Energieeigenzustände der Atomhülle gehen immer von einem solchen intermediären Kopplungsschema aus.

jj-Kopplung bei mehreren ElektronenBearbeiten

Für jedes Teilchen   werden Spin- und Bahndrehimpuls addiert und ergeben dessen Gesamtdrehimpuls mit Quantenzahl  . Aus diesen 1-Teilchen-Gesamtdrehimpulsen   wird der Gesamtdrehimpuls der Elektronenhülle mit Quantenzahl   gebildet. Sind es mehr als zwei Teilchen, gibt es hier wiederum mehrere Möglichkeiten, die aber keine eigenen Namen erhalten haben.

Das  -Kopplungsschema ergibt Zustände, die bei starker Spin-Bahn-Wechselwirkung eine gute Näherung an die Energieeigenzustände des Atoms darstellen. In den Atomen nimmt die Stärke der Spin-Bahn-Wechselwirkung mit steigender Hauptquantenzahl   ab, mit steigendem   (z. B. bei Blei mit  ) aber zu. Sie spielt bei mittelschweren Atomen in den inneren Schalen und bei schweren Atomen in der ganzen Hülle oft eine größere Rolle als die gegenseitige Störung der Elektronen untereinander. Jedes Elektron befindet sich daher in einem Zustand mit einer „guten Quantenzahl“   für seinen Gesamtdrehimpuls. Bei der Zusammensetzung der Drehimpulse   der einzelnen Elektronen zum Gesamtdrehimpuls   des Atoms ergibt sich der Gesamtdrehimpuls einer abgeschlossenen Schale oder Unterschale immer zu Null. Daher sind für den Gesamtdrehimpuls der Atomhülle nur die Elektronen in nicht vollbesetzten Schalen zu berücksichtigen.

LS-Kopplung bei mehreren ElektronenBearbeiten

Aus den Bahndrehimpulsen aller Teilchen wird ein Gesamtbahndrehimpuls mit Quantenzahl   gebildet, ebenso aus den Spins ein Gesamtspin mit Quantenzahl  . Aus   und   wird der Gesamtdrehimpuls der Elektronenhülle mit Quantenzahl   gebildet. Irrtümlich wird die  -Kopplung aufgrund ihres Namens leicht mit der Spin-Bahn-Wechselwirkung in Zusammenhang gebracht oder sogar damit verwechselt. Gelegentlich wird die  -Kopplung auch als Russell-Saunders-Kopplung bezeichnet, benannt nach Henry Norris Russell und Frederick Albert Saunders.

Die  -Kopplung herrscht vor, wenn die Spin-Bahn-Wechselwirkung vernachlässigt werden kann. Das bedeutet   und   sind gute Quantenzahlen, oder anders ausgedrückt,   und   kommutieren immer noch näherungsweise mit dem Hamiltonian des Systems. Das gilt bei den Energieeigenzuständen der leichteren Atome, bei denen die gegenseitige elektrostatische Störung der Elektronen eine größere Rolle spielt als die Spin-Bahn-Wechselwirkung jedes einzelnen Elektrons. Die oben beschriebene Abhängigkeit der Energie eines jeden einzelnen Elektrons vom Skalarprodukt   ist bei kleineren Kernladungszahlen Z nämlich so schwach, dass die Elektronen in einer nicht abgeschlossenen Schale in erster Linie durch ihre wechselseitige Coulombabstoßung beeinflusst werden, die von den Spins unabhängig ist. Die Gesamtwellenfunktion eines Energieeigenzustands ist daher in guter Näherung als ein Produkt einer Ortswellenfunktion aller Elektronen mit einer Spinfunktion aller Elektronen anzusetzen. In solchen Zuständen hat (außer für  ) kein Elektron einen Zustand inne, der durch eine Quantenzahl   für seinen Gesamtdrehimpuls gekennzeichnet ist. Jedoch hat der Gesamtbahndrehimpuls

 

eine feste Größe (Quantenzahl  , Eigenwert   zum Operator  ), die auch die Energie dieser Zustände bestimmt. Da in dieser Näherung die Energie nicht von den Spins abhängt, handelt es sich immer um entartete Zustände zum gleichen  , die formal weiter nach der Quantenzahl   für den Gesamtspin der Elektronen aufgeschlüsselt werden können:

 .

(Tatsächlich braucht man abgeschlossene Schalen dabei nicht zu berücksichtigen, denn sie haben automatisch  .) Wenn mindestens zwei Elektronen in derselben Unterschale   sind, dann können   und   jeweils mehrere verschiedene Werte haben. Sofern die Coulombabstoßung und weitere Energiebeiträge – noch – vernachlässigt sind, gehören sie alle zur gleichen Energie (Entartung). Dabei kommen aber nur die Kombinationen von   und   vor, die dem Pauli-Prinzip entsprechen, d. h. die eine antisymmetrische Wellenfunktion ergeben, wenn zwei Elektronen miteinander vertauscht werden. Nun sind die Ortswellenfunktion zweier Elektronen zu gegebenem   für sich allein bei Vertauschung (innerhalb einer Unterschale) immer schon entweder symmetrisch oder antisymmetrisch, je nachdem ob   gerade oder ungerade ist. Auch die Spinwellenfunktion zu gegebenem Gesamtspin   ist entweder symmetrisch oder antisymmetrisch, nur im umgekehrten Sinn. Damit insgesamt eine fermionische antisymmetrische Wellenfunktion entsteht, müssen Orts- und Spinfunktion eines Niveaus entgegengesetzte Symmetrie haben.

Wird im nächsten Schritt die Coulomb-Abstoßung der Elektronen berücksichtigt, wird die Energie des Zustands angehoben. Dieser Energiebeitrag ist für die Ortswellenfunktionen zu verschiedenen Gesamtbahndrehimpulsen   verschieden, insbesondere ist die Abstoßung für eine symmetrische Ortswellenfunktion (  gerade) größer als für antisymmetrische (  ungerade). Die Energie hängt also vom Symmetriecharakter der Ortswellenfunktion ab, der, wie eben dargestellt, umgekehrt zum Symmetriecharakter der jeweiligen Spinfunktion sein muss. So ergibt sich schließlich für jeden Wert von   eine andere Energie, obwohl die Spins der Elektronen an den Wechselwirkungen rechnerisch überhaupt noch nicht beteiligt wurden. Für leichte Atome (bis etwa zur Kernladungszahl  ) ist das eine gute Näherung. Den Niveaus leichter Atome können damit die Quantenzahlen   und   zugeordnet werden. Dies ist das  -Kopplungsschema. Zur  -Kopplung ist es in gewissem Sinn entgegengesetzt (aber die nach  -Kopplung gebildeten Zustände sind nicht automatisch orthogonal zu den nach  -Kopplung gebildeten).

Im folgenden Schritt wird die immer noch existente Spin-Bahn-Kopplung eines jeden Elektrons berücksichtigt. Sie macht sich bei den  -Zuständen durch eine weitere feine Aufspaltung bemerkbar, durch die jedem möglichen Eigenwert   zum Gesamtdrehimpuls   eine etwas verschiedene Energie zugeordnet wird (als ob es eine Wechselwirkung der Form   gäbe). Es entsteht ein Multiplett mit (im Allgemeinen)   eng benachbarten Niveaus, die in ihren Quantenzahlen   und   alle übereinstimmen.

Im Falle der  -Kopplung hat also jedes Elektron nach wie vor die Quantenzahlen  , aber nicht  . Ein Niveau der ganzen Atomhülle hat die drei Quantenzahlen  , die im Termsymbol   zusammengefasst werden.

Mit zunehmender Kernladungszahl wird die Beschreibung nach der  -Kopplung eine immer schlechtere Näherung, bis ab mittleren Kernladungszahlen die Spin-Bahn-Wechselwirkung der einzelnen Elektronen so groß wird, dass das  -Kopplungsschema zunehmend besser zutrifft. Man sagt, die  -Kopplung wird aufgebrochen. Der Übergangsbereich zwischen beiden Kopplungsschemata wird als intermediäre Kopplung (engl. intermediate coupling) bezeichnet. Sie zeichnet sich bspw. durch eine Aufweichung des Interkombinationsverbotes auf.[2]

Aufspaltung im MagnetfeldBearbeiten

 
Wasserstoffniveaus und Spinbahnwechselwirkung unter Einfluss eines Magnetfeldes.

Ein Niveau mit bestimmtem  ,   und   enthält   einzelne Zustände mit verschiedenem    . Ohne Magnetfeld sind sie energetisch entartet und bilden ein einziges Niveau. Bei endlichem Magnetfeld gilt das nicht mehr:

  • In einem schwachen Magnetfeld behalten die drei Quantenzahlen  ,   und   ihren Sinn, aber die Energien spalten nach den   auf. Es entstehen   Niveaus (mit gleichen  ,  ,  ). Die magnetische Zusatzenergie   dieser Energieeigenzustände ist proportional zum Magnetfeld   und zu   (siehe Zeeman-Effekt und Landé-Faktor).
  • Wird diese Aufspaltung so groß, dass sie gegenüber dem Energieunterschied zu den Niveaus mit benachbarten  -Werten nicht mehr vernachlässigbar ist, wird die Kopplung von   und   zu einem festen Wert   zunehmend aufgebrochen. Die Energieeigenzustände haben dann nach wie vor die Quantenzahlen   und  , sind aber Überlagerungen der Zustände mit verschiedenem  , haben also keine feste Quantenzahl   mehr. Ihre Energien variieren nichtlinear mit dem Magnetfeld, bis im Extremfall des starken Feldes (Paschen-Back-Effekt) die Zustände zu festen Werten   und   zu Energieeigenzuständen werden und deren Energien wieder linear vom Magnetfeld abhängen.

Das gleiche geschieht auch bei einem einzelnen äußeren Elektron mit bestimmtem  ,   und  . Während im schwachen Magnetfeld alle Niveaus je nach   ihre Zeeman-Aufspaltung proportional   zeigen, gehen die Niveaus im starken Magnetfeld in Zustände zu festen Quantenzahlen   und   über (s. Abbildung).

Ungebundene TeilchenBearbeiten

Wenn ein Teilchen beispielsweise gestreut und dadurch aus seiner Flugrichtung abgelenkt wird, ruft die Spin-Bahn-Wechselwirkung im Allgemeinen eine Abhängigkeit des differentiellen Wirkungsquerschnitts vom Azimutwinkel hervor (siehe auch Spinpolarisation, Mott-Streuung). Auch in Kernreaktionen und für alle Elementarteilchen mit starker Wechselwirkung (Hadronen) spielt die Spin-Bahn-Wechselwirkung eine entsprechende Rolle.

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 8., aktualisierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-02621-5.
  2. Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik – Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 8. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-02621-5, S. 329.