Gleichmäßig glatte Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um normierte Räume, deren Norm eine besondere Glattheitsbedingung erfüllt. Über eine Dualraumbeziehung hängen sie eng mit den gleichmäßig konvexen Räumen zusammen.

Definitionen

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Ein normierter Raum   heißt glatt, wenn die Norm auf der Einheitssphäre   Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt, wenn für jedes   und alle   der Grenzwert

 

existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn für jedes   und  

 

gilt.[1] Es ist nun naheliegend, Gleichmäßigkeitsbedingungen an die Existenz dieses Grenzwertes zu stellen. Man definiert daher den sogenannten Glattheitsmodul von  

 

und nennt den Raum   gleichmäßig glatt, falls

 

gilt.[2] Das bedeutet also, dass der Ausdruck

 

nicht nur für alle   gegen   konvergiert, wenn  , sondern sogar gleichmäßig auf  .

Beispiele

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 ,
woraus die gleichmäßige Glattheit folgt.[3]
  • Die Lp-Räume   für Maßräume   mit positivem Maß sind gleichmäßig glatt, falls  .
  • Die Folgenräume   für   sind gleichmäßig glatt. Das ist ein Spezialfall des vorangegangenen Beispiels. Die Räume   und   sind nicht gleichmäßig glatt, sie sind noch nicht einmal glatt.[4]
  • Es gibt eine Norm auf dem Folgenraum   der Nullfolgen, bezüglich der dieser Raum glatt aber nicht gleichmäßig glatt ist.[5]

Eigenschaften

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  • Gleichmäßig glatte Räume sind glatt, denn obige Definition verschärft eine äquivalente Charakterisierung der Glattheit. Für endlichdimensionale Räume gilt auch die Umkehrung, für unendlichdimensionale Räume im Allgemeinen nicht.
  • Gleichmäßig glatte Banachräume sind genau die Dualräume von gleichmäßig konvexen Banachräumen.[6] Insbesondere sind gleichmäßig glatte Räume reflexiv, denn gleichmäßig konvexe Räume sind nach dem Satz von Milman reflexiv.
  • Unterräume und Quotienräume nach abgeschlossenen Unterräumen gleichmäßig glatter Räume sind wieder gleichmäßig glatt.[7]
  • Für glatte Räume   hat man die Stützabbildung  , die jedes   auf das eindeutig bestimmte Stützfunktional   abbildet. Diese Stützabbildung ist norm-schwach-*-stetig. Ein glatter Raum ist genau dann gleichmäßig glatt, wenn die Stützabbildung norm-norm-stetig ist.[8]

Einzelnachweise

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  1. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.5.1
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.5.2
  3. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kap. 3, §4, Beweis zu Korollar 1 zu Theorem 1'
  4. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 5.5.16
  5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Beispiel 5.5.15
  6. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 5.5.12
  7. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Sätze 5.5.20, 5.5.22
  8. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Sätze 5.5.20, 5.5.210