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Gâteaux-Differential

(Weitergeleitet von Gâteaux-Ableitung)

Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion offene Menge, die an der Stelle differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

.

Insbesondere ergibt sich für das bekannte Differential

.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionenBearbeiten

Weierstraßsche ZerlegungsformelBearbeiten

Sei   mit   offen und   normierte Räume. Dann heißt   in   Gateaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion   existiert, sodass

 

für alle   mit  . Dies ist äquivalent zu:

 

Dann bezeichnet man   als die Gateaux-Ableitung von   im Punkt  .

1. Variation; VariationsableitungBearbeiten

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich   ein in   definiertes Funktional;   sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm  ) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei   und  . Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle   in Richtung  , falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach  :

 

oder auch für   durch

 

Man beachte dabei  ,   und ebenfalls   darin, aber  .

Die Gâteaux-Ableitung nach   ist bezüglich der Größe   ein Funktional, das auch als 1. Variation von   an der Stelle   bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben   bezeichnet, und statt der Größe   schreibt man meist  , mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung   führt man in einem Zusatzschritt die sogenannte Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

BeispielBearbeiten

Für

 

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form   mit der Variationsableitung

 

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung   einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall  . So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier  , das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. VariationBearbeiten

 

Halbseitiges Differential und RichtungsableitungBearbeiten

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

 

beziehungsweise durch

 

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von   an der Stelle   genannt. Für die zum Vektor   gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von   in Richtung   an der Stelle  .

Gâteaux-AbleitungBearbeiten

Ist   ein in   stetiges, lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch   ist homogen, additiv und stetig im Argument  ), dann heißt   Gâteaux-Ableitung an der Stelle  . und   Gâteaux-differenzierbar in  .

Eigenschaften der 1. VariationBearbeiten

  • Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet
     
    für alle  . Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.
  • Das Gâteaux-Differential ist nicht linear. Im allgemeinen Fall gilt also
     
    Für ein Beispiel, dass das Gâteaux-Differential nicht linear ist, betrachte   für   und  , wobei  , dann ist
     .
    Die Funktion   ist nicht linear. Es gilt zum Beispiel  .

BeispieleBearbeiten

  1.  , falls  ,   bzw.   sonst  .
  2.    
  3.   für   und   für  ,  

  (wobei  )

AnwendungenBearbeiten

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei   offen,   linearer normierter Raum,   (das Innere der Menge  ),   und   der offene Ball um   mit Radius  . Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei   ein lokales Minimum von   auf  , dann ist  , falls das einseitige Gâteaux-Differential in   existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung:   besitze in   eine 2. Variation   und  . Falls gilt   und für ein     und  , dann ist   strenge lokale Minimalstelle von   auf  .

Siehe auchBearbeiten