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Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

DefinitionBearbeiten

Angenommen,   ist eine  -dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

 

irgendeine Basis von   und

 

sei die Dualbasis von   hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z. B. der Killingform) auf  . Das quadratische Casimir-Element   ist das durch die Formel

 

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra  . Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element   davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra   kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra   liegt.

Sei   eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra   auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum V. Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante   der durch

 

gegebene lineare Operator auf V.

AnwendungenBearbeiten

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe G mit zugehöriger Lie-Algebra   auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, so werden die Elemente von   durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf M beschrieben. Sei   die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf M. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der G-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf M.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

LiteraturBearbeiten

  • James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5