Cannon-Thurston-Abbildung

Cannon-Thurston-Abbildungen werden in der Mathematik in der Theorie Kleinscher Gruppen verwendet. Sie erlauben es, komplizierte Limesmengen als stetige Bilder eines Kreises darzustellen.

Limesmenge einer quasifuchsschen Gruppe

Cannon-Thurston-Vermutung

Der folgende Satz wurde von Cannon und Thurston vermutet und in dieser Allgemeinheit von Mahan Mj bewiesen.

Eine Flächengruppe $\pi _{1}S$ wirke frei und eigentlich diskontinuierlich ohne parabolische Elemente auf dem 3-dimensionalen hyperbolischen Raum $\mathbb {H} ^{3}$. Dann lässt sich die äquivariante Inklusion

$i\colon {\widetilde {S}}\to \mathbb {H} ^{3}$

der universellen Überlagerung ${\widetilde {S}}=\mathbb {H} ^{2}$ stetig auf den idealen Rand $\partial _{\infty }{\widetilde {S}}=\partial _{\infty }\mathbb {H} ^{2}$ zu einer stetigen Abbildung

$i\cup \partial _{\infty }i\colon \mathbb {H} ^{2}\cup \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{2}\to \mathbb {H} ^{3}\cup \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}$

fortsetzen.

Für $p\not =q\in \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{2}$ ist $\partial _{\infty }i(p)=\partial _{\infty }i(q)$ dann und nur dann, wenn $p$ und $q$ Endpunkte im Unendlichen desselben Blattes oder desselben idealen Komplementärpolygons der Endelaminierung von $\pi _{1}S\backslash \mathbb {H} ^{3}$ sind.

Anwendungen

• Wenn die Limesmenge einer endlich erzeugten Kleinschen Gruppe zusammenhängend ist, dann ist sie lokal zusammenhängend.

• Sei $\Gamma$ eine geometrisch endliche Kleinsche Gruppe. Wenn es für eine andere Kleinsche Gruppe $\Gamma ^{\prime }$ einen Gruppenisomorphismus $\Gamma \to \Gamma ^{\prime }$ gibt, der parabolische Elemente auf parabolische Elemente abbildet, dann gibt es eine surjektive, stetige Abbildung der Limesmenge von $\Gamma$ auf die Limesmenge von $\Gamma ^{\prime }$, der die Fixpunkte jedes Elements $\gamma \in \Gamma$ auf die Fixpunkte des entsprechenden Elements in $\Gamma ^{\prime }$ abbildet.

• Sei $M$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens, die über dem Kreis mit Faser $S$ fasert. Dann ist die Limesmenge von $\pi _{1}S$ eine $\pi _{1}M$-invariante Peano-Kurve.

Verallgemeinerungen

Eine hyperbolische Gruppe $\Gamma$ wirke frei und eigentlich diskontinuierlich auf einem Gromov-hyperbolischen Raum $X$. Man kann fragen, ob sich die Orbitabbildungen

$i\colon \Gamma \to X$

auf den Gromov-Rand zu einer stetigen Abbildung

$i\cup \partial _{\infty }i\colon \Gamma \cup \partial _{\infty }\Gamma \to X\cup \partial _{\infty }X$

fortsetzen lassen. Falls eine solche stetige Fortsetzung existiert, bezeichnet man

$\partial _{\infty }i\colon \partial _{\infty }\Gamma \to \partial _{\infty }X$

als Cannon-Thurston-Abbildung.

Es gibt zahlreiche Beispiele, in denen eine Cannon-Thurston-Abbildung nicht existiert, siehe Baker-Riley und Matsuda-Oguni.

Eine Cannon-Thurston-Abbildung existiert jedoch für

• die Inklusion $i\colon \Gamma \to G$ eines Normalteilers in eine hyperbolische Gruppe,

oder für

• die Inklusion eines Eckenraumes in einen Baum Gromov-hyperbolischer Räume, in dem alle Inklusionen von Kantenräumen in Eckenräume quasi-isometrische Einbettungen sind.

Literatur

• W. Abikoff. Two theorems on totally degenerate Kleinian groups. Amer. J. Math. 98, S. 109–118, 1976.
• W. J. Floyd. Group completions and limit sets of Kleinian groups. Invent. Math. 57, S. 205–218, 1980.
• J. Cannon und W. P. Thurston. Group Invariant Peano Curves. Geom. Topol. 11, S 1315–1355, 2007. (Preprint von 1985)
• Y. Minsky. On rigidity, limit sets, and end invariants of hyperbolic 3-manifolds. J. Amer. Math. Soc. 7, S. 539–588, 1994.
• R. C. Alperin, W. Dicks und J. Porti. The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic three-space. Topology Appl. 93, S. 219–259, 1999.
• C. T. McMullen. Local connectivity, Kleinian groups and geodesics on the blowup of the torus. Invent. Math. 146, S. 35–91, 2001.
• B. H. Bowditch. The Cannon-Thurston map for punctured surface groups. Math. Z. 255, S. 35–76, 2007.
• O. Baker und T. Riley. Cannon-Thurston maps do not alway exist. Forum of Mathematics, Sigma, 1, e3, 2013.
• M. Mj. Cannon-Thurston Maps for Surface Groups. Ann. of Math. 179(1), S. 1–80, 2014.
• M. Mj. Ending Laminations and Cannon-Thurston Maps, with an appendix by S. Das and M. Mj. Geom. Funct. Anal. 24, S. 297–321, 2014.
• Y. Matsuda und S. Oguni. On Cannon–Thurston maps for relatively hyperbolic groups. Journal of Group Theory 17(1), S. 41–47, 2014.
• M. Mj. Cannon-Thurston Maps for Kleinian Groups. Forum Math. Pi 5, e1, 49 pp., 2017.
• M. Mj. Cannon-Thurston maps, Proceedings of International Congress of Mathematicians 2018.