Bild (Kategorientheorie)

Begriff aus der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus ein Unterobjekt des Zielobjekts mit einer besonderen Eigenschaft.

Erste Definition

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In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus   ein Unterobjekt   von  , das die folgende universelle Eigenschaft hat:

  • Es gibt einen Morphismus   mit  .
  • Für jedes Unterobjekt  , das obige Eigenschaft erfüllt ( ), gibt es einen eindeutigen Morphismus   mit   und  .[1]

Zweite Definition

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Ist   Morphismus in einer Kategorie  , so sei   die Kategorie mit

  • Objekten: alle Monomorphismen  , so dass es einen Morphismus   gibt mit  
  • Morphismen zwischen Objekten   und  :  -Morphismen  , so dass  .

Ein Bild von   ist definiert als ein initiales Objekt in  .[2]

Dies ist nichts anderes als eine Umformulierung der universellen Eigenschaft des Bildes.

Kategorien mit Bildern

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Man sagt, eine Kategorie habe Bilder, wenn jeder Morphismus ein Bild hat. Die Kategorie der Mengen hat Bilder, denn die Bildmenge einer Abbildung zwischen zwei Mengen ist ein Bild im Sinne der Kategorientheorie. Allgemeiner gilt:[3]

  • In einem Topos hat jeder Morphismus   ein Bild   und es gilt sogar   mit einem Epimorphismus  .

Kobilder

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Das Kobild eines Morphismus   ist der duale Begriff: ein Kobild ist ein Quotientenobjekt   von X, das die folgende universelle Eigenschaft hat:

  • Es gibt einen Morphismus   mit  .
  • Für jedes Quotientenobjekt  , das obige Eigenschaft erfüllt ( ), gibt es einen eindeutigen Morphismus   mit   und  .

In Kategorien mit Kern und Kokern ist jeder Kern eines Kokerns von f ein Bild von f, jeder Kokern des Kernes ein Kobild.

In abelschen Kategorien wie den Kategorien der Vektorräume oder abelschen Gruppen stimmen Bild und Kobild überein. In den genannten Kategorien sind sie auch gleich dem mengentheoretischen Bild.

Einzelnachweise

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  1. Barry Mitchell: Theory of Categories. Academic Press, 1965, ISBN 978-0-08-087329-9, Kapitel I.10: Images.
  2. I. Vaismann: Cohomology and Differential Forms. Marcel Dekker Inc, 1973, ISBN 0-8247-6009-3, S. 13.
  3. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Kapitel IV.6 Factorization and Images, Satz 1.