Die Hermann-Mauguin-Symbolik wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Als international anerkannte Notation wird sie primär zur Beschreibung der 32 Punktgruppen (PG) und 230 Raumgruppen (RG) in der Kristallographie verwendet. Sie wurde von den namensgebenden Kristallographen Carl Hermann (1898–1961) und Charles-Victor Mauguin (1878–1958) entwickelt und ist seitdem in den erstmals 1935 erschienenen International Tables for Crystallography normiert.
Weiterhin wird sie unter anderem zur Beschreibung ebener kristallographischer Gruppen und Bandornamentgruppen sowie weiterer, nicht-kristallographischer Gruppen angewendet.
Neben der Hermann-Mauguin-Symbolik existiert auch die von Arthur Schoenflies entwickelte Schoenflies-Symbolik. Diese wird jedoch praktisch nicht mehr für die Beschreibung des kristallinen Zustands, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen genutzt.
Die in der Kristallographie verwendeten Hermann-Mauguin-Symbole für die 32 Punkt- und 230 Raumgruppen sind nachfolgend beschrieben.
Symbole der kristallographischen Punkt- (PG) und Raumgruppen (RG) Bearbeiten
Einfache Symmetrieelemente Bearbeiten
Einfache Symmetrieelemente bestehen aus nur einer Symmetrieoperation. Dazu zählen das Inversionszentrum, Drehachsen und Spiegelebenen.
Inversionszentrum Bearbeiten
Ein Inversionszentrum vervielfältigt ein Teilchen durch Punktspiegelung, dabei entstehen zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Es wird dargestellt durch das Symbol 1 (gesprochen „1 quer“).
| Symmetrieelement | Symmetrieoperation | Element der PG & RG in den Kristallsystemen | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Beschreibung | Spiegelung | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| 1 | Inversionszentrum | Punkt | + | – | – | – | – | – | – |
Inversionszentren sind Element aller zentrosymmetrischen PG und RG. Als Symbol relevant sind sie nur für die PG 1 und RG P1 (Nr. 2). In höheren zentrosymmetrischen PG und RG werden Inversionszentren durch Kombination anderer Symmetrieelemente (z.B. 2/m) erzeugt, das Symbol 1 entfällt hierbei.
Drehachse Bearbeiten
Drehachsen vervielfältigen ein Teilchen durch Drehung um 360°/n, dabei entstehen „n“ symmetrieäquivalente Teilchen. Eine Drehachse wird dargestellt durch das Symbol „n“ mit n = 1, 2, 3, 4, 6 (gesprochen „n-zählige Drehachse“). Für „n“ existieren in der Kristallographie keine weiteren als die vorgenannten Werte, da andere Werte (z.B. n = 5, 7, 8) mit der erforderlichen Translation des Gitters zur zwingend lückenlosen Parkettierung des dreidimensionalen Raumes nicht vereinbar sind.
| Symmetrieelement | Symmetrieoperation | Element der PG & RG in den Kristallsystemen | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol (n) | Beschreibung | Drehung | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| 1 | 1-zählige Drehachse | 360° | + | (+) | (+) | (+) | (+) | (+) | (+) |
| 2 | 2-zählige Drehachse | 180° | – | + | + | + | + | + | + |
| 3 | 3-zählige Drehachse | 120° | – | – | – | – | + | – | + |
| 4 | 4-zählige Drehachse | 90° | – | – | – | + | – | – | + |
| 6 | 6-zählige Drehachse | 60° | – | – | – | – | – | + | – |
Die Identität, d.h. Drehung um 360°, ist ein Element aller PG und RG. Sie ist als Symbol 1 jedoch nur für trikline sowie für höher symmetrische enantiomorphe PG und RG relevant und entfällt ansonsten in den Symbolen.
Spiegelebene Bearbeiten
Eine Spiegelebene vervielfältigt ein Teilchen durch Ebenenspiegelung, dabei entstehen zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Sie wird dargestellt durch das Symbol m.
| Symmetrieelement | Symmetrieoperation | Element der PG & RG in den Kristallsystemen | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Beschreibung | Spiegelung | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| m | Spiegelebene | Ebene | – | + | + | + | + | + | + |
Gekoppelte Symmetrieelemente Bearbeiten
Ein gekoppeltes Symmetrieelement besteht aus einer Drehachse (Drehung um 360°/n mit n = 2, 3, 4, 6) gekoppelt mit einem auf dieser Achse befindlichen Inversionszentrum, dadurch entsteht eine Drehinversionsachse. Diese ist ein gekoppeltes Symmetrieelement, da die beiden Symmetrieoperationen – Drehung und Punktspiegelung – nicht unabhängig voneinander ausgeführt werden können. Eine Drehinversionsachse wird dargestellt durch das Symbol „n“ (gesprochen „n-zählige Drehinversionsachse“ oder „n quer“).
| Symmetrieelement | Symmetrieoperationen | Element der PG & RG in den Kristallsystemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol (n) | Beschreibung | Drehung | Spiegelung | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| 2 | 2-zählige Drehinversionsachse | 180° | Punkt | – | + | + | + | + | + | + |
| 3 | 3-zählige Drehinversionsachse | 120° | – | – | – | – | + | – | + | |
| 4 | 4-zählige Drehinversionsachse | 90° | – | – | – | + | – | – | + | |
| 6 | 6-zählige Drehinversionsachse | 60° | – | – | – | – | – | + | – | |
| Symbol wird nicht verwendet, da die Symmetrioperationen es zum selben Ergebnis wie m führen | ||||||||||
Kombinierte Symmetrieelemente Bearbeiten
Ein kombiniertes Symmetrieelement besteht aus einer Drehachse (Drehung um 360°/n mit n = 1, 2, 3, 4, 6) kombiniert mit einer dazu senkrecht (⊥) befindlichen Spiegelebene m. Dies ist ein kombiniertes Symmetrieelement, da die beiden Symmetrieoperationen – Drehung und Ebenenspiegelung – unabhängig voneinander ausgeführt werden können. Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene wird dargestellt durch das Symbol „n/m“ (gesprochen „n über m“).
| Symmetrieelement | Symmetrieoperationen | Element der PG & RG in den Kristallsystemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol (n/m) | Beschreibung | Drehung | Spiegelung | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| 2/m | 2-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene | 180° | Ebene | – | + | + | + | + | + | + |
| 3/m | 3-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene | 120° | – | – | – | – | – | + | – | |
| 4/m | 4-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene | 90° | – | – | – | + | – | – | + | |
| 6/m | 6-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene | 60° | – | – | – | – | – | + | – | |
| Symbol wird nicht verwendet, da die Symmetrioperationen es zum selben Ergebnis wie 6 führen | ||||||||||
Reihenfolge der Punktgruppensymbole Bearbeiten
Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen) vollständig beschreiben, da diese im Gegensatz zu den Raumgruppen keine translationshaltigen Symmetrieelemente beinhalten können.
Im triklinen Kristallsystem gibt es nur – unabhängig von einer kristallographischen Richtung – die Ab- (1) oder Anwesenheit (1) von Inversionszentren. In den höher symmetrischen Kristallsystemen wird die Orientierung der Symmetrieelemente anhand von maximal drei vorgegebenen kristallographischen Richtungen – unter Verwendung der Millerschen Indizes – angegeben. Die Symmetrieelemente sind dabei wie folgt orientiert:
- Dreh- („n“) und Drehinversionsachsen („n“) sind parallel (||) zu spezifischen Richtungen [uvw] bzw. zu allen dazu symmetrieäquivalenten Richtungen <uvw>
- Spiegelebenen (m) sind senkrecht (⊥) zu spezifischen Richtungen [uvw] bzw. zu allen dazu symmetrieäquivalenten Richtungen <uvw>
| Kristallsystem | Kristallographische Richtung(en) | Mögliche Symmetrieelemente | Anmerkungen | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 2. Symbol | 3. Symbol | 1. Symbol | 2. Symbol | 3. Symbol | ||
| triklin | – | 1, 1 | Richtungsunabhängige Ab- oder Anwesenheit von Inversionszentren | ||||
| monoklin | [100] | [010] | [001] | 1 | 2, m, 2/m | 1 | Aufstellung: b – [010] – als ausgezeichnete Achse (1st Setting) |
| [100] | [010] | [001] | 1 | 1 | 2, m, 2/m | Aufstellung: c – [001] – als ausgezeichnete Achse (2nd Setting) | |
| orthorhombisch | [100] | [010] | [001] | 2, m, 2/m | 2, m, 2/m | 2, m, 2/m | – |
| tetragonal | [001] | <100> | <110> | 4, 4, 4/m | 2, m, 2/m | 2, m, 2/m | – |
| trigonal | [111] | <110> | – | 3, 3 | 2, m, 2/m | – | Aufstellung: hexagonal-rhomboedrisch (hR) |
| [001] | <100> | <120> | 3, 3 | 1, 2, m, 2/m | 1, 2, m, 2/m | Aufstellung: hexagonal-primitiv (hP) | |
| hexagonal | 6, 6, 6/m | 2, m, 2/m | 2, m, 2/m | ||||
| kubisch | <100> | <111> | <110> | 2, 2/m, 4, 4, 4/m | 3, 3 | 2, m, 2/m | – |
|
Für alle Punktgruppen der jeweiligen Kristallsysteme angegeben, da stets Bestandteil der Holoedrie und Paramorphie (Hemiedrie) | |||||||
Für eine komplette Übersicht der Lang- und Kurzsymbole der Punktgruppen siehe Punktgruppe#Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen).
Beispiele – Lauegruppen Bearbeiten
Nachfolgende Beispiele beschreiben die Holoedrie (die jeweils höchst-symmetrische Punktgruppe, die der Punktgruppe des jeweiligen Gitters entspricht) der sieben Kristallsysteme sowie die Paramorphie (Hemiedrie) des tetragonalen, trigonalen, hexagonalen und kubischen Kristallsystems. Diese Punktgruppen entsprechen den elf Lauegruppen.
Die Tabellen nutzen dabei das oben beschriebene Farbschema. Sofern dabei symmetrieäquivalente Richtungen – nur relevant für die tetragonale, trigonale, hexagonale und kubische Holoedrie – auftreten, sind diese in der optionalen Spalte „<uvw>“ mit den zugehörigen spezifischen Richtungen [uvw] angegeben.
triklin-pinakoidal Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) trilklin-pinakoidal (Nr. 2) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbol 1 beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des triklinen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trikline Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung | Beschreibung |
|---|---|---|
| 1 | – | Richtungsunabhängige Anwesenheit von Inversionszentren |
monoklin-prismatisch Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) monolkin-prismatisch (Nr. 5) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 12/m1 oder 112/m (Langsymbole) bzw. 2/m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des monoklinen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das monokline Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung | Beschreibung | |
|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 1 | [100] | Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt |
| 2. Symbol | 2/m | [010] | 2-zählige Drehachse || b-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
| 3. Symbol | 1 | [001] | Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt |
oder
| Symbol | Richtung | Beschreibung | |
|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 1 | [100] | Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt |
| 2. Symbol | 1 | [010] | |
| 3. Symbol | 2/m | [001] | 2-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
Anhand des Kurzsymbols 2/m lässt sich also nicht erkennen, welche Aufstellung gewählt wurde. Erst die Langsymbole 12/m1 (1st Setting) und 112/m (2nd Setting) geben Auskunft darüber. Durch eine weitere – jedoch unübliche – Umstellung der Achsen, kann auch [100] als monokline a-Achse gewählt werden, wodurch das Langsymbol 2/m11 entsteht.
orthorhombisch-dipyramidal Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) orthorohmbisch-dipyramidal (Nr. 8) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 2/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des orthorombischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das orthorhombische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung | Beschreibung | |
|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 2/m | [100] | 2-zählige Drehachse || a-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
| 2. Symbol | 2/m | [010] | 2-zählige Drehachse || b-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
| 3. Symbol | 2/m | [001] | 2-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
tetragonal-dipyramidal Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) tetragonal-dipyramidal (Nr. 11) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbole 4/m (Lang- & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des tetragonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das tetragonale Kristallsystem ist das Symmetrieelement wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung | Beschreibung | |
|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 4/m | [001] | 4-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
| 2. Symbol | – | – | Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe |
| 3. Symbol | – | – | |
ditetragonal-dipyramidal Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) ditetragonal-dipyramidal (Nr. 15) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 4/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. 4/mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des tetragonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das tetragonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung(en) | <uvw> | Beschreibung | |
|---|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 4/m | [001] | – | 4-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
| 2. Symbol | 2/m | <100> | [100] [010] | 2-zählige Drehachsen || a1=a2-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
| 3. Symbol | 2/m | <110> | [110] [110] | 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
rhomboedrisch Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) rhomboedrisch (Nr. 17) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbol 3 (Lang- & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des trigonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trigonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung(en) | Beschreibung | |
|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 3 | [111] | 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen |
| 2. Symbol | – | – | Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe |
| 3. Symbol | – | – | |
oder
| Symbol | Richtung(en) | Beschreibung | |
|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 3 | [001] | 3-zählige Drehinversionsachse || c-Achse |
| 2. Symbol | – | – | Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe |
| 3. Symbol | – | – | |
ditrigonal-skalenoedrisch Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) ditrigonal-skalenoedrisch (Nr. 20) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 32/m1 (Langsymbol) bzw. 3m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des trigonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trigonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung(en) | <uvw> | Beschreibung | |
|---|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 3 | [111] | – | 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen |
| 2. Symbol | 2/m | <110> | [110] [011] [101] | 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
| 3. Symbol | – | – | – | Entfällt bei rhomboedrischer Zentrierung |
oder
| Symbol | Richtung(en) | <uvw> | Beschreibung | |
|---|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 3 | [001] | – | 3-zählige Drehinversionsachse || c-Achse |
| 2. Symbol | 2/m | <100> | [100] [010] [110] | 2-zählige Drehachsen || a1=a2(=a3)-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
| 3. Symbol | 1 | <120> | [120] [110] [210] | Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt |
hexagonal-dipyramidal Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) hexagonal-dipyramidal (Nr. 23) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbole 6/m (Langsymbol & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des hexagonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das hexagonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung(en) | Beschreibung | |
|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 6/m | [001] | 6-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
| 2. Symbol | – | – | Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe |
| 3. Symbol | – | – | |
dihexagonal-dipyramidal Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) dihexagonal-dipyramidal (Nr. 27) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 6/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. 6/mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des hexagonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das hexagonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung(en) | <uvw> | Beschreibung | |
|---|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 6/m | [001] | – | 6-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene |
| 2. Symbol | 2/m | <100> | [100] [010] [110] | 2-zählige Drehachsen || a1=a2(=a3)-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
| 3. Symbol | 2/m | <120> | [120] [110] [210] | 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
disdodekaedrisch Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) disdodekaedrisch (Nr. 30) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 2/m3 (Langsymbol) bzw. m3 (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der der gleichnamigen Lauegruppe bzw. Hemiedrie des kubischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das kubische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung(en) | <uvw> | Beschreibung | |
|---|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 2/m | <100> | [100] [010] [001] | 2-zählige Drehachsen || a1=a2=a3-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
| 2. Symbol | 3 | <111> | [111] [111] [111] [111] | 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen |
| 3. Symbol | – | – | – | Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe |
hexakisoktaedisch Bearbeiten
Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) hexakisoktaedisch (Nr. 32) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 4/m32/m (Langsymbol) bzw. m3m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der der gleichnamigen Lauegruppe bzw. Holoedrie des kubischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das kubische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:
| Symbol | Richtung(en) | <uvw> | Beschreibung | |
|---|---|---|---|---|
| 1. Symbol | 4/m | <100> | [100] [010] [001] | 4-zählige Drehachsen || a1=a2=a3-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
| 2. Symbol | 3 | <111> | [111] [111] [111] [111] | 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen |
| 3. Symbol | 2/m | <110> | [110] [110] [011] [011] [101] [101] | 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen |
Symbole der kristallographischen Raumgruppen (RG) Bearbeiten
Die Symbole der Raumgruppen (RG) unterscheiden sich von den Symbolen der Punktgruppen (PG) wie folgt:
- Symbole der RG beginnen stets mit dem Pearson-Symbol für die Zentrierung des Bravais-Gitters
- Symbole der RG können – müssen jedoch nicht zwingend – translationshaltige Symmetrieelemente in Form von Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen enthalten
Da Einkristalle makroskopisch stets nur Symmetrieelemente der Punktgruppen erkennen lassen, sind translationshaltige Symmetrieelemente sowie die Gitterzentrierung nur für die Raumgruppen relevant und treten folglich in der Beschreibung der Punktgruppen nicht auf.
Gitterzentrierung Bearbeiten
Das erste Symbol entspricht dem Pearson-Symbol für die Zentrierung des Bravais-Gitters der Raumgruppe.
| Zentrierung des Bravais-Gitters | Mögliche Zentrierungen in den Kristallfamilien bzw. -systemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Bezeichnung | Gitterpunkte | tkl (a) | mkl (m) | orth (o) | tetr (t) | trig (h) | hex (h) | kub (c) |
| P | primitiv | Ecken | aP | mP | oP | tP | hP | cP | |
| R | rhomboedrisch | Ecken | hR | ||||||
| C | basisflächenzentriert oder einseitig flächenzentriert | Ecken & Zentrum der ab-Fläche (001) | mC | oC | |||||
| B | Ecken & Zentrum der ac-Fläche (010) | mB | oB | ||||||
| A | Ecken & Zentrum der bc-Fläche (100) | mA | oA | ||||||
| F | (allseitig) flächenzentriert | Ecken & Zentren aller Flächen | oF | cF | |||||
| I | innen- oder raumzentriert | Ecken & Zentrum der Elementarzelle | oI | tI | cI | ||||
|
Pearson-Symbole der 14 möglichen Bravais-Gitter im dreidimensionalen Raum | |||||||||
Im trigonalen Kristallsystem wird die rhomboedrische Zentrierung mit hexagonal rhomboedrisch (hR) angegeben und die primitive Zentrierung entspricht dem hexagonal primitiven Gitter (hP), da beide Kristallsysteme der hexagonalen Kristallfamilie (h) angehören.
Translationshaltige Symmetrieelemente Bearbeiten
Translationshaltige Symmetrieelemente beinhalten zu den Symmetrieoperationen Drehung oder Ebenenspiegelung auch eine daran gekoppelte Translation (Parallelverschiebung). Drehachsen werden dadurch zu Schraubenachsen, Spiegelebenen zu Gleitspiegelebenen.
Schraubenachsen Bearbeiten
Durch Drehung um 360°/n mit n = 2, 3, 4, 6 und Translation parallel (||) der Drehachse mit dem Betrag m⁄n eines Gittervektors, entsteht jeweils eine Schraubenachse mit dem Symbol „nm“ (gesprochen „nm“ Schraubenachse, z.B. 31: „Drei-Eins-Schraubenachse“). Durch die jeweiligen Translationsbeiträge winden sich die Schraubenachsen in den Kristallstrukturen nach rechts (21, 31, 41, 42, 61, 62, 63) oder links (32, 43, 64, 65), wodurch folgende enantiomorphe (spiegelbildliche) Paare entstehen: 31 & 32; 41 & 43; 61 & 65; 62 & 64.
| Symmetrieelement | Symmetrieoperationen | AST | Enantiomorphie | Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol (nm) | Beschreibung | Drehung | Translation || Achse | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub | ||
| 21 | 21 Schraubenachse | 180° | 1⁄2 Gittervektor | 2 | – | – | + | + | + | – | – | + |
| 31 | 31 Schraubenachse | 120° | 1⁄3 Gittervektor | 3 | 32 | – | – | – | – | + | – | – |
| 32 | 32 Schraubenachse | 2⁄3 Gittervektor | 31 | |||||||||
| 41 | 41 Schraubenachse | 90° | 1⁄4 Gittervektor | 4 | 43 | – | – | – | + | – | – | + |
| 42 | 42 Schraubenachse | 1⁄2 Gittervektor | – | |||||||||
| 43 | 43 Schraubenachse | 3⁄4 Gittervektor | 41 | |||||||||
| 61 | 61 Schraubenachse | 60° | 1⁄6 Gittervektor | 6 | 65 | – | – | – | – | – | + | – |
| 62 | 62 Schraubenachse | 1⁄3 Gittervektor | 64 | |||||||||
| 63 | 63 Schraubenachse | 1⁄2 Gittervektor | – | |||||||||
| 64 | 64 Schraubenachse | 2⁄3 Gittervektor | 62 | |||||||||
| 65 | 65 Schraubenachse | 5⁄6 Gittervektor | 61 | |||||||||
Gleitspiegelebenen Bearbeiten
Gleitspiegelebenen bestehen aus einer Ebenenspiegelung und einer Translation mit dem Betrag 1⁄n eines Gittervektors mit n = 2, 4. Dabei können die nachfolgend beschriebenen vier Typen von Gleitspiegelebenen unterschieden werden.
Axiale Gleitspiegelebenen Bearbeiten
Axiale Gleitspiegelebenen (a, b, c) vervielfältigen ein Teilchen durch Ebenenspiegelung und einer daran gekoppelten Translation um 1⁄2 Gitterparameter:
| Symmetrieelement | Symmetrieoperationen | Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Orientierung | Spiegelung | Translation | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| a | ⊥ [010] oder ⊥ [001] | Ebene | 1⁄2a | – | (+) | + | – | – | – | + |
| b | ⊥ [100] oder ⊥ [001] | 1⁄2b | (+) | + | – | – | – | – | ||
| c | ⊥ [100] oder ⊥ [010] | 1⁄2c | + | + | – | – | – | – | ||
| ⊥ [110] oder ⊥ [110] | – | – | + | – | – | – | ||||
| ⊥ [100] oder ⊥ [010] oder ⊥ [110] | – | – | – | + | + | – | ||||
| ⊥ [110] oder ⊥ [120] oder ⊥ [210] | – | – | – | + | + | – | ||||
Doppelte Gleitspiegelebenen Bearbeiten
Doppelte Gleitspiegelebenen (e) vervielfältigen ein Teilchen durch Ebenenspiegelung und daran gekoppelten Translationen um 1⁄2 von zwei senkrecht zueinander stehenden Gitterparametern:
| Symmetrieelement | Symmetrieoperationen | Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Orientierung | Spiegelung | Translation | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| e | ⊥ [100] | Ebene | 1⁄2b und 1⁄2c | – | – | – | – | – | – | – |
| ⊥ [010] | 1⁄2a und 1⁄2c | – | – | – | ||||||
| ⊥ [001] | 1⁄2b und 1⁄2c | – | – | – | ||||||
| ⊥ [110]; ⊥ [110] | 1⁄2(a + b) und 1⁄2c; 1⁄2(a − b) und 1⁄2c | – | – | – | ||||||
| ⊥ [011]; ⊥ [011] | 1⁄2(b + c) und 1⁄2a; 1⁄2(b − c) und 1⁄2a | – | – | – | ||||||
| ⊥ [101]; ⊥ [101] | 1⁄2(a + c) und 1⁄2b; 1⁄2(a − c) und 1⁄2b | – | – | – | ||||||
Diagonale Gleitspiegelebenen Bearbeiten
| Symmetrieelement | Symmetrieoperationen | Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Orientierung | Spiegelung | Translation | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| n | ⊥ [001]; ⊥ [100]; ⊥ [010] | Ebene | 1⁄2(a + b); 1⁄2(b + c); 1⁄2(a + c) | – | – | – | – | – | – | – |
| ⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101] | 1⁄2(−a +b + c); 1⁄2(a −b + c); 1⁄2(a +b − c) | – | – | – | – | – | – | – | ||
| ⊥ [110] oder ⊥ [011] oder ⊥ [101] | 1⁄2(a +b + c) | – | – | – | – | – | – | – | ||
Diamant-Gleitspiegelebenen Bearbeiten
| Symmetrieelement | Symmetrieoperationen | Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Orientierung | Spiegelung | Translation | tkl | mkl | orth | tetr | trig | hex | kub |
| d | ⊥ [001]; ⊥ [100]; ⊥ [010] | Ebene | 1⁄4(a ± b); 1⁄4(b ± c); 1⁄4(a ± c) | – | – | – | – | – | – | – |
| ⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101] | 1⁄4(−a + b ± c); 1⁄4(±a − b + c); 1⁄4(a ± b − c) | – | – | – | ||||||
| ⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101] | 1⁄4(a + b ± c); 1⁄4(±a + b + c); 1⁄4(a ± b + c) | – | – | – | ||||||
Gleitspiegelebenen bestehen aus einer Spiegelebene und Translation um ½ Gittervektor (a, b, c) bzw. zweier Gittervektoren (e) oder um ½ (n) bzw. ¼ (d) einer Flächendiagonalen.
- , oder : Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors
- : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale
- : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale
- : zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren
Literatur Bearbeiten
- Mois I. Aroyo (Hrsg.): International Tables for Crystallography. 6. Auflage. Volume A: Space-group symmetry. Wiley, New York 2016, ISBN 978-0-470-97423-0.
- Joachim Bohm, Detlef Klimm, Manfred Mühlberg, Björn Winkler (Hrsg.): Will Kleber: Einführung in die Kristallographie. 20. Auflage. De Gruyter, Berlin 2021, ISBN 978-3-11-046023-0.
- Christopher Hammond: The Basics of Crystallography and Diffraction. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2015, ISBN 978-0-19-873867-1.
- Frank Hoffmann: Faszination Kristalle und Symmetrie – Einführung in die Kristallographie. 1. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-09581-9.
Weblinks Bearbeiten
- Hermann-Mauguin symbols. In: Online Dictionary of Crystallography. International Union of Crystallography, 1. Dezember 2017, abgerufen am 6. Oktober 2022 (englisch).