Benutzer:Googolplexian1221/Spezielle Werte der Riemannschen Zeta-Funktion

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine mathematische Funktion, die eine besonders wichtige Rolle in der Zahlentheorie spielt. Für Werte kann sie definiert werden durch die Reihe

In diesem Falle streben die einzelnen Summanden schnell genug gegen 0, sodass die Reihe gegen einen festen eindeutigen Wert konvergiert. Es ist ein klassisches mathematisches Problem, welche Werte die Zeta-Funktion an speziellen Stellen besitzt. Ein Beispiel hierfür ist das Basler Problem, das nach dem exakten Wert der Reihe aller kehrwertigen Quadratzahlen fragt, ergo dem Wert :

Ein geschlossenes Ergebnis konnte 1734 durch Leonhard Euler gefunden werden. Mit der Kreiszahl erhält man .

Durch Erweiterung der Summanden in den Bereich der komplexen Zahlen über die komplexe Exponentialfunktion, mittels , kann die Zeta-Funktion auf die Halbebene auf natürliche Weise ausgeweitet werden. Durch analytische Fortsetzung gelingt sogar eine Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion auf alle komplexen Stellen mit Ausnahme von 1. Somit ergeben auch Werte wie ... einen eindeutigen Sinn, und sind für bestimmte zahlentheoretische Fragestellungen von Interesse.

Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen

Bearbeiten

Eigenschaften

Bearbeiten

Die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl  . Für eine positive ganze Zahl   ist

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl bezeichnet.[1] Diese Formel wurde zuerst von Leonhard Euler entdeckt. Somit ist   für   ein rationales Vielfaches von   Daraus folgt sofort mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß, dass jeder Wert   für natürliche Zahlen   irrational und sogar transzendent ist.[2]

Herleitung zu Eulers Formel

Bearbeiten

Euler wurde bei seinen Überlegungen durch die Taylor-Reihe des Kardinalsinus inspiriert. Über Vergleich der Koeffizienten auf beiden Seiten, wobei auf der rechten Seite zunächst ausmultipliziert,

 

folgerte er beispielsweise

 

Ein alternativer und direkterer Zugang zu den Werten an geraden Stellen liefert die Kotangensfunktion. Aus deren unendlicher Partialbruchzerlegung ergibt sich einerseits die Potenzreihe

 

andererseits folgt über den komplexen Sinus und Kosinus

 

Durch Koeffizientenvergleich beider Potenzreihen ergibt sich Eulers Formel.[3]

Weitere Formeln

Bearbeiten

Es gilt die Rekursionsformel

 

für natürliche Zahlen  , die Euler noch nicht bekannt war.[4]

Anwendung

Bearbeiten

Obgleich die Bernoulli-Zahlen rational sind, ist ihre explizite Berechnung für größer werdende Indizes schwierig, da zunächst nur aufwändige Rekursionsformeln vorliegen. Für lange Zeit galt daher Eulers Formel für die Werte   (kombiniert mit dem Staudt-Clausenschen Satz) als beste Grundlage zur Berechnung der Werte  . Jedoch fand David Harvey im Jahr 2008 einen etwas schnelleren Algorithmus, der ohne die Verwendung der Zeta-Funktion auskommt.[5]

Funktionswerte für ungerade natürliche Zahlen

Bearbeiten

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Das hat den Grund, dass alle bekannten Verfahren zur expliziten Bestimmung von Werten   mit   eigentlich den Wert der unendlichen Reihe

 

ermitteln, die für gerade Werte   den Wert   hat, für ungerade   aber durch Herauskürzen der Summanden trivialerweise 0 ist, womit die wesentlichen Informationen verloren gehen. Dennoch weiß man zum Beispiel, dass die Apéry-Konstante   irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde.[6] Sein Beweis fand in Mathematikerkreisen große Beachtung. So bezeichnete Don Zagier Apérys Ausführungen als „Sensation“.[7]

Apéry-Reihen

Bearbeiten

Im Wesentlichen verwendete Apéry für den Beweis der Irrationalität von   die rasch konvergente Reihe

 

mit rationalen Gliedern.[8] Es gilt hingegen auch

 

Reihen dieser Art werden auch als Apéry-Reihen bezeichnet.[9] In dem Wunsche, Apérys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können, sind diese bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Beiträge lieferten unter anderem Ablinger, Bailey, Borwein, Sun und Zucker.[10][11][12][13] Beim Versuch einer Verallgemeinerung stößt man natürlicherweise auf Verbindungen zu allgemeinen harmonischen Summen und multiplen Polylogarithmen. Doch trotz Formeln wie zum Beispiel[14]

 

steht der Durchbruch bis heute aus.

Lineare Unabhängigkeit über den rationalen Zahlen

Bearbeiten

Es ist immerhin bekannt, dass unendlich viele Werte   irrational sind. Genauer lässt sich sagen, dass es zu jedem   ein   gibt, sodass für alle   die Ungleichung

 

gilt.[15] Aus dieser Ungleichung geht hervor, dass unendlich viele Werte der Menge   linear unabhängig über dem Körper   sind. Das bedeutet aber zwangsläufig, dass die betroffenen Werte alle irrationale Zahlen sein müssen. Wadim Zudilin konnte sogar zeigen, dass mindestens einer der Werte  ,  ,   und   irrational sein muss.[16]

Perioden zu Eisensteinreihen

Bearbeiten

Ramanujan gab die für ganze   und reelle Zahlen   mit   gültige Identität[17]

 

an. Das hintere Polynom in   und   mit rationalen Koeffizienten wird auch Ramanujan-Polynom genannt. Dies impliziert gewissermaßen eine engere Verwandtschaft zwischen den Werten   und  . Durch Einsetzen spezieller Werte findet sich daraus eine reiche Fülle expliziter Formeln. Setzt man beispielsweise   und   ein, so entsteht die um 1900 von Matyáš Lerch angegebene Reihe[18]

 

und allgemeiner eine Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:[19]

 

Ramanujans Formel lässt sich zum Beispiel durch Anwendung des Residuensatzes auf die Funktion   zeigen. Sie findet jedoch ihren tieferen Ursprung in der Tatsache, dass die auf der oberen Halbebene definierten Funktionen

 

gerade die Eichler-Integrale zu Eisensteinreihen von Gewicht   zur vollen Modulgruppe sind.[20] Insbesondere haben sie das von Ramanujan beschriebene Transformationsverhalten (wenn man zum Beispiel   mit   setzt, wird der Bezug zur modularen Sprache deutlicher) und die Koeffizienten des Ramanujan-Polynoms sowie die Zeta-Werte an ungeraden Stellen treten als sog. Perioden der jeweiligen Eisensteinreihe auf. 2011 zeigten Murty, Smyth und Wang, dass es mindestens eine algebraische Zahl   mit   gibt, sodass

 

Gleichzeitig bewiesen sie aber, dass die Menge

 

höchstens eine algebraische Zahl enthält, wobei   den algebraischen Abschluss von   bezeichnet.[21] Es ist bis heute ungeklärt, ob einer der Werte   als rationales Vielfaches von   darstellbar ist. Viele Mathematiker halten dies jedoch für äußerst unwahrscheinlich. Nach einer Vermutung von Kohnen, die 1989 ebenfalls im Zusammenhang mit Perioden von Modulformen formuliert wurde, sind alle Quotienten   mit   transzendente Zahlen.[22]

Numerische Berechnung

Bearbeiten

Gerade für kleinere Werte   ist die Dirichlet-Reihe zur schnellen numerischen Berechnung der Werte   nicht optimal. Bei der Suche nach schnell konvergenten Reihen machte sich Bailey durch Angabe verschiedener BBP-Formeln verdient.[23] Exemplare für solche existieren für   und  . Ein Beispiel ist die äußerst schnell konvergente Reihe

 

Andere schnell konvergente Reihen, verfügbar für alle Werte  , stammen von Wilton:[24]

 

Hierbei bezeichnet   die  -te harmonische Zahl. Zu beachten ist hier allerdings, dass dies eine rekursive Formel ist, welche genaue Kenntnis der Werte   (d. h. der Bernoulli-Zahlen) erfordert.

Die Dezimalstellen einiger Werte   sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.

2n + 1 ζ(2n + 1) OEIS Folge
3 1,2020569031595942853997381… Folge A002117 in OEIS
5 1,0369277551433699263313654… Folge A013663 in OEIS
7 1,0083492773819228268397975… Folge A013665 in OEIS
9 1,0020083928260822144178527… Folge A013667 in OEIS
11 1,0004941886041194645587022… Folge A013669 in OEIS
13 1,0001227133475784891467518… Folge A013671 in OEIS
15 1,0000305882363070204935517… Folge A013673 in OEIS
17 1,0000076371976378997622736… Folge A013675 in OEIS
19 1,0000019082127165539389256… Folge A013677 in OEIS

Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen

Bearbeiten

Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Man weiß zum Beispiel, dass sie alle rationale Zahlen sind. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Über die mit einer Hankel-Kontur hergeleiteten Integralformel

 

folgert man durch Einsetzen einer nicht-positiven ganzen Zahl   über den Residuensatz:[25]

 

Dabei ist   die n-te Bernoulli-Zahl. Dies kann ebenfalls mittels Eulers Formel für gerade Funktionswerte und der Funktionalgleichung hergeleitet werden (und umgekehrt).[26]

Unter anderem erhält man damit   für alle   und:

 

In seinem Blog[27] geht der Mathematiker Terence Tao auf die „Formeln“

 
 
 

detailliert ein. Insbesondere wird erläutert, dass diese Gleichungen außerhalb der traditionellen Berechnung unendlicher Reihen Sinn ergeben und die Ergebnisse zur rechten sogar „eindeutig bestimmbar“ sind. Tao schreibt dazu:

„Clearly, these formulae do not make sense if one stays within the traditional way to evaluate infinite series, and so it seems that one is forced to use the somewhat unintuitive analytic continuation interpretation of such sums to make these formulae rigorous.“

„Es ist klar, dass diese Formeln keinen Sinn ergeben, wenn man innerhalb der traditionellen Art und Weise, unendliche Reihen zu bewerten, bleibt, und so scheint es, dass man gezwungen ist, die etwas unintuitive Interpretation durch analytische Fortsetzung solcher Summen zu verwenden, um diese Formeln rigoros zu machen.“

Terence Tao[28]

Funktionswerte für halbzahlige Argumente

Bearbeiten

Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

    (Folge A059750 in OEIS),
    (Folge A078434 in OEIS).
 
 

Ramanujan gab in seinem Tagebuch folgende Reihenidentität an, die den Wert   beinhaltet. Für positive reelle Zahlen   mit   gilt[29]

 

Diese wurde von einigen Mathematikern aufgegriffen und weiter verallgemeinert. So haben zum Beispiel Kanemitsu, Tanigawa und Yoshimoto ähnliche Identitäten gefunden, welche die Werte   für Dirichletsche L-Funktionen mit ungeraden   und geraden   beinhalten.[30]

2017 gab Johann Franke[31] folgende Identität für halbzahlige Funktionswerte:

 

mit

 ,  ,  ,   und  .

Hierbei bezeichnet   die verallgemeinerte Teilerfunktion. Diese Identität ist ein Spezialfall eines sehr allgemeinen Frameworks, das Reihenidentitäten von Ramanujan für L-Funktionen wesentlich ausweitet.[32]

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. T. M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, S. 266.
  2. Ferdinand Lindemann: Über die Ludolph’sche Zahl. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 2 (1882), S. 679–682.
  3. J.-P. Serre: A course in arithmetic, Springer-Verlag New York (1973), ISBN 978-0-387-90040-7, S. 91.
  4. Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. Springer-Verlag, Berlin et al. 1984, ISBN 3-540-12782-8, S. 234.
  5. D. Harvey: A multimodular algorithm for computung Bernoulli numbers, Oktober 2008, (arXiv).
  6. Roger Apéry: Irrationalité de   et  . Astérisque 61, 1979, S. 11–13.
  7. J. H. Brunier, G. van der Geer, G. Harder, D. Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms, Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-540-74117-6, doi:10.1007/978-3-540-74119-0, S. 64.
  8. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 43.
  9. Weiping Wanga, Ce Xub: Alternating multiple zeta values, and explicit formulas of some Euler-Apéry-type series. (PDF; 255 kB).
  10. J. Ablinger: Discovering and proving infinite binomial sums identities. Experiment. Math. 26 (1) (2017) 62–71.
  11. D. H. Bailey, J. M. Borwein, D. M. Bradley: Experimental determination of Apéry-like identities for ζ(2n + 2). Experiment. Math. 15 (3) (2006) 281–289.
  12. Z.-W. Sun: A new series for   and related congruences. Internat. J. Math. 26 (8) (2015) 1550055.
  13. I. J. Zucker: On the series   and related sums. J. Number Theory 20 (1) (1985) 92–102.
  14. J. Ablinger: Discovering and proving infinite binomial sums identities. Experiment. Math. 26 (1) (2017), S. 62.
  15. T. Rivoal: La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. In: Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Série I. Mathématique. 331. Jahrgang, 2000, S. 267–270, doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4, arxiv:math/0008051.
  16. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. In: Russ. Math. Surv. 56. Jahrgang, Nr. 4, 2001, S. 774–776.
  17. S. Ramanujan: Notebooks. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1957 (2. Auflage 2012), S. 173.
  18. Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
  19. Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Die nachstehende Seite ist nicht mehr abrufbar. (Suche in Webarchiven.) @2Vorlage:Toter Link/www.plouffe.fr Computational strategies for the Riemann zeta function. (PDF; 310 kB), 11. Oktober 2012, S. 270.
  20. S. Gun, M. R. Murty, R. Rath: Transcendental values of certain Eichler integrals. Bull. Lond. Math. Soc. 43(5), S. 940 (2011).
  21. M. Ram Murty, C. Smyth, R. J. Wang: Zeros of Ramanujan polynomials. J. Ramanujan Math. Soc. 26 (2011), no. 1, 107–125.
  22. W. Kohnen: Transcendence conjectures about periods of modular forms and rational structures on spaces of modular forms. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 99 (1989), S. 231–233.
  23. D. H. Bailey: A Compendium of BBP-Type Formulas for Mathematical Constants, 2000, (PDF)
  24. J.R. Wilton: A proof of Burnside’s formula for log Γ (x + 1) and certain allied properties of Riemann’s ζ-function. Messenger Math. 52, 90–93 (1922/1923)
  25. Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory. AMS, Rhode Island 1990, S. 234.
  26. T. M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, S. 266.
  27. Terence Tao: The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, abgerufen am 23. Dezember 2019, (Link).
  28. Terence Tao: The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, abgerufen am 23.12.2019, (Link).
  29. G. E. Andrews, B. C. Berndt: Ramanujan’s Lost Notebook. Part IV. Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2, S. 191.
  30. S. Kanemitsu, Y. Tanigawa und M. Yoshimoto: On Dirichlet L-functions values at rational arguments. Ramanujan Math. Soc. Lect. Notes, Ser. 1, Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2005, S. 31–37.
  31. Johann Franke: Infinite series representations for Dirichlet L-functions at rational arguments. In: The Ramanujan Journal, Bd. 46, Nr. 1, S. 92.
  32. J. Franke: Ramanujan identities of higher degree. Research in Number Theory 4, 42, 2018, Abstract.