Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter
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Seien
ω
1
,
ω
2
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
ω
1
ω
2
∉
R
{\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\not \in \mathbb {R} }
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
Gitter
Ω
⊂
C
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }
Ω
:=
{
ω
=
a
ω
1
+
b
ω
2
:
a
,
b
∈
Z
}
{\displaystyle \Omega :=\left\{\omega =a\omega _{1}+b\omega _{2}:a,b\in \mathbb {Z} \right\}}
Die Eisensteinreihe vom Gewicht
k
{\displaystyle k}
Gitter
Ω
{\displaystyle \Omega }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
unendliche Reihe der Form
G
k
(
Ω
)
:=
∑
0
≠
ω
∈
Ω
ω
−
k
{\displaystyle G_{k}(\Omega ):=\sum _{0\not =\omega \in \Omega }\omega ^{-k}}
Diese Reihen sind absolut konvergent für
k
≥
3
{\displaystyle k\geq 3}
k
{\displaystyle k}
G
k
(
Ω
)
=
0
{\displaystyle G_{k}(\Omega )=0}
Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene
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G
4
{\displaystyle G_{4}}
G
6
{\displaystyle G_{6}}
G
8
{\displaystyle G_{8}}
G
10
{\displaystyle G_{10}}
G
12
{\displaystyle G_{12}}
G
14
{\displaystyle G_{14}}
Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter der Form
Z
+
Z
τ
{\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }
τ
∈
H
=
{
z
∈
C
∣
Im
z
>
0
}
{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} z>0\}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
(
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}
G
k
(
Ω
)
=
G
k
(
ω
1
,
ω
2
)
=
ω
2
−
k
G
k
(
ω
1
ω
2
,
1
)
{\displaystyle G_{k}(\Omega )=G_{k}(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{2}^{-k}G_{k}\left({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}},1\right)}
und da die Basis so gewählt werden kann, dass
ω
1
ω
2
∈
H
{\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\in \mathbb {H} }
(
1
,
τ
)
,
τ
∈
H
{\displaystyle (1,\tau ),\ \tau \in \mathbb {H} }
G
k
(
τ
)
:=
G
k
(
τ
,
1
)
=
∑
(
0
,
0
)
≠
(
m
,
n
)
∈
Z
×
Z
1
(
m
τ
+
n
)
k
{\displaystyle G_{k}(\tau ):=G_{k}(\tau ,1)=\sum _{(0,0)\not =(m,n)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }{\frac {1}{(m\tau +n)^{k}}}}
Man kann die Eisensteinreihe
G
k
{\displaystyle G_{k}}
oberen Halbebene auffassen.
Eisenstein-Reihen sind holomorph in der oberen Halbebene und in der Spitze (
I
m
z
→
∞
{\displaystyle Im\,z\to \infty }
Die Eisensteinreihe
G
k
{\displaystyle G_{k}}
Modulform vom Gewicht
k
{\displaystyle k}
SL
2
(
Z
)
{\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}
a
,
b
,
c
,
d
∈
Z
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
G
k
(
a
τ
+
b
c
τ
+
d
)
=
(
c
τ
+
d
)
k
G
k
(
τ
)
.
{\displaystyle G_{k}\!\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}G_{k}(\tau ).}
Für
k
≥
8
{\displaystyle k\geq 8}
G
k
{\displaystyle G_{k}}
Polynome mit rationalen Koeffizienten in
G
4
{\displaystyle G_{4}}
G
6
{\displaystyle G_{6}}
G
k
∈
Q
[
G
4
,
G
6
]
{\displaystyle G_{k}\in \mathbb {Q} [G_{4},G_{6}]}
Rekursionsformel :
(
n
−
3
)
(
2
n
+
1
)
(
2
n
−
1
)
G
2
n
=
3
∑
p
=
2
n
−
2
(
2
p
−
1
)
(
2
n
−
2
p
−
1
)
G
2
p
G
2
n
−
2
p
{\displaystyle (n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum _{p=2}^{n-2}(2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}G_{2n-2p}}
Speziell für
n
=
4
{\displaystyle n=4}
7
G
8
=
3
G
4
2
{\displaystyle 7G_{8}=3G_{4}^{2}}
Hurwitz-Identität (nach Adolf Hurwitz ):
σ
7
(
m
)
=
σ
3
(
m
)
+
120
∑
r
,
s
∈
N
,
r
+
s
=
m
σ
3
(
r
)
σ
3
(
s
)
{\displaystyle \sigma _{7}(m)=\sigma _{3}(m)+120\sum _{r,s\in \mathbb {N} ,r+s=m}\sigma _{3}(r)\sigma _{3}(s)}
dabei ist die Teilerfunktion
σ
k
(
n
)
=
∑
d
|
n
d
k
{\displaystyle \,\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}}
die Summe der
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
Da in der Spitze für alle
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
lim
I
m
(
τ
)
→
∞
G
2
n
(
τ
)
=
2
ζ
(
2
n
)
{\displaystyle \lim _{Im(\tau )\to \infty }G_{2n}(\tau )=2\zeta (2n)}
n
≥
4
{\displaystyle n\geq 4}
(
n
−
3
)
(
2
n
+
1
)
(
2
n
−
1
)
ζ
(
2
n
)
=
6
∑
p
=
2
n
−
2
(
2
p
−
1
)
(
2
n
−
2
p
−
1
)
ζ
(
2
p
)
ζ
(
2
n
−
2
p
)
{\displaystyle (n-3)(2n+1)(2n-1)\zeta (2n)=6\sum _{p=2}^{n-2}(2p-1)(2n-2p-1)\zeta (2p)\zeta (2n-2p)}
[1] Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:
G
k
(
τ
)
=
2
ζ
(
k
)
+
2
(
2
π
i
)
k
(
k
−
1
)
!
∑
m
=
1
∞
σ
k
−
1
(
m
)
e
2
π
i
m
τ
{\displaystyle G_{k}(\tau )=2\zeta (k)+2{\frac {(2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\sum _{m=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(m)e^{2\pi im\tau }}
dabei ist
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
n
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}
Riemannsche Zetafunktion . Eine weitere übliche Darstellung ist die der normierten Eisensteinreihe
G
k
∗
(
τ
)
=
1
2
ζ
(
k
)
G
k
(
τ
)
=
1
−
2
k
B
k
∑
m
=
1
∞
σ
k
−
1
(
m
)
e
2
π
i
m
τ
.
{\displaystyle G_{k}^{*}(\tau )={\frac {1}{2\zeta (k)}}G_{k}(\tau )=1-{\frac {2k}{B_{k}}}\sum _{m=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(m)e^{2\pi im\tau }.}
Dabei sind die
B
k
{\displaystyle B_{k}}
Bernoulli-Zahlen . Diese Fourierreihe hat ausschließlich rationale Fourierkoeffizienten.
Bezug zu elliptischen Funktionen
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Es sei
g
2
=
60
G
4
{\displaystyle g_{2}=60G_{4}}
g
3
=
140
G
6
{\displaystyle g_{3}=140G_{6}}
Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter
Ω
{\displaystyle \Omega }
(
℘
′
(
z
)
)
2
=
4
℘
(
z
)
3
−
g
2
(
Ω
)
℘
(
z
)
−
g
3
(
Ω
)
.
{\displaystyle (\wp '(z))^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}(\Omega )\wp (z)-g_{3}(\Omega ).}
Umgekehrt gibt es zu jeder elliptischen Kurve über
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
y
2
=
x
3
+
a
x
+
b
{\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}
ein Gitter
Ω
{\displaystyle \Omega }
a
=
15
G
4
(
Ω
)
{\displaystyle a=15G_{4}(\Omega )}
b
=
35
G
6
(
Ω
)
{\displaystyle b=35G_{6}(\Omega )}
(
x
,
y
)
=
(
℘
(
z
)
,
1
2
℘
′
(
z
)
)
{\displaystyle (x,y)=(\wp (z),{\frac {1}{2}}\wp '(z))}
mit
z
∈
C
/
Ω
{\displaystyle z\in \mathbb {C} /\Omega }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Torus
C
/
Ω
{\displaystyle \mathbb {C} /\Omega }
![{\displaystyle G_{k}\in \mathbb {Q} [G_{4},G_{6}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ce7c54db0df1ce30df07fab9a37b2b1e349738)
