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Eisensteinreihe

Reihe aus der Theorie der Modulformen

Eisensteinreihen (nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein) sind verschiedene Reihen aus der Theorie der Modulformen bzw. automorphen Formen.

Inhaltsverzeichnis

Holomorphe EisensteinreihenBearbeiten

Eisensteinreihen auf dem Raum der GitterBearbeiten

Seien   zwei komplexe Zahlen mit  . Das von   und   erzeugte Gitter   ist

 .

Die Eisensteinreihe vom Gewicht   zum Gitter   in   ist die unendliche Reihe der Form

 .

Diese Reihen sind absolut konvergent für  ; für ungerades   ist  .

Eisensteinreihen auf der oberen HalbebeneBearbeiten

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter der Form   mit   beschränken, denn für ein Gitter   mit Basis   gilt stets:

 ,

und da die Basis so gewählt werden kann, dass   gilt, kann man die Eisensteinreihen jedes Gitters berechnen, sobald man sie für diejenigen mit Basis   kennt. Für letztere schreibt man auch abkürzend:

 .

Man kann die Eisensteinreihe   also als eine Funktion auf der oberen Halbebene auffassen.

Eisenstein-Reihen sind holomorph in der oberen Halbebene und in der Spitze ( ).

Die Eisensteinreihe   ist eine Modulform vom Gewicht   zur Gruppe  , das heißt für   mit   gilt

 

Für   sind die   Polynome mit rationalen Koeffizienten in   und  , d. h.  , es gilt die Rekursionsformel:

 

Speziell für   ergibt sich hieraus   und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (siehe unten) die bemerkenswerte zahlentheoretische Hurwitz-Identität (nach Adolf Hurwitz):

 ,

dabei ist

 

die Summe der  -ten Potenzen der Teiler von  . Diese Formel lässt sich aber auch elementar (das heißt nicht funktionentheoretisch) beweisen.

FourierentwicklungBearbeiten

Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:

 ,

dabei ist   die Riemannsche Zetafunktion.

Bezug zu elliptischen FunktionenBearbeiten

Es sei   und  . Dann erfüllt die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter   die Differentialgleichung

 

Umgekehrt gibt es zu jeder elliptischen Kurve über  

 

ein Gitter   mit   und  . Die elliptische Kurve wird dann parametrisiert durch

 

mit  . Insbesondere ist jede elliptische Kurve über   homöomorph zu einem Torus  .

LiteraturBearbeiten