Abbildungstorus

In der Mathematik sind Abbildungstori topologische Räume, mit denen topologische Abbildungen beschrieben werden.

DefinitionBearbeiten

 
Das Möbiusband ist der Abbildungstorus der durch   definierten Abbildung  .
 
Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S1 mit Faser S1 und Monodromie  .

Sei   ein topologischer Raum und   ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von   ist definiert als Quotient

 

von   bzgl. der Äquivalenzrelation   für alle  .

Faserbündel über dem KreisBearbeiten

Der Kreis   kann als Quotientenraum   mit   aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den zweiten Faktor   ein Faserbündel

 .

Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus   darstellbar. Die Abbildung   wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.

Abbildungstori in der 3-dimensionalen TopologieBearbeiten

Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.[1]

Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt.[2]

GruppentheorieBearbeiten

In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei   die von einer Menge   erzeugte freie Gruppe und   ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung

 .

WeblinksBearbeiten

  1. Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle
  2. The virtual Haken conjecture Documenta Math. 18 (2013) 1045--1087