Zentralkraft

auf einen festen Punkt bezogene Kraft

Eine Zentralkraft ist eine Kraft, die immer auf einen festen Punkt (das Kraftzentrum ) bezogen ist, also auf zu bzw. von weg zeigt.[1]

Die Gravitationskraft stellt im Planetensystem eine Zentralkraft dar

Viele Zentralkräfte sind (konservative) Gradientenfelder zu einem kugelsymmetrischen Zentralpotential (auch Zentralfeld, siehe unten). In diesem Artikel werden jedoch auch nichtkonservative Zentralkräfte behandelt, die insbesondere keine Radialsymmetrie aufweisen müssen.

Die Gravitation und die Coulomb-Kraft sind Beispiele für konservative Zentralkräfte. Genau genommen hängt es vom Bezugssystem ab, ob die genannte Definition zutrifft; so ist etwa die Gravitation nur im Schwerpunktsystem (und allen relativ zu ihm ruhenden Systemen) eine Zentralkraft.

DrehimpulserhaltungBearbeiten

Unter dem Einfluss einer allgemeinen Zentralkraft bleibt der Drehimpuls   eines Massenpunktes im Bezugssystem mit dem Ursprung   erhalten. Für den Drehimpuls

 

gilt nämlich

 ,

wobei im letzten Schritt verwendet wird, dass die Kraft

 

parallel zum Ortsvektor liegt.

Das ist gerade der Inhalt des zweiten Keplerschen Gesetzes, das besagt, dass der Ortsvektor pro Zeit die gleiche Fläche überstreicht. Denn für eine kleine Änderung der Zeit   gilt:

 

Beim letzten Ausdruck ist ablesbar, dass die Fläche des überstrichenen Dreiecks   pro Zeit konstant ist (der Kreissektor kann durch ein Dreieck angenähert werden, da es sich um eine infinitesimale Änderung in   handelt). Die einzige Voraussetzung für das zweite Keplersche Gesetz ist also nur, dass die Kraft in Radialrichtung zeigt.

Aus der Drehimpulserhaltung folgt auch, dass die Bewegung in der Ebene bleibt, in der die Anfangswerte von   und   liegen. Der Drehimpulsvektor   muss nämlich immer senkrecht auf dem Ortsvektor   stehen, was daraus folgt, dass das Spatprodukt mit zwei gleichen Vektoren immer null ist:  .

ZentralpotentialBearbeiten

Unter einem Zentralpotential versteht man ein Potential, das nur vom Abstand   zum Kraftzentrum abhängt. Es gilt also  . Von einem Zentralpotential lassen sich nur Zentralkraftfelder ableiten, die keine Winkelabhängigkeit besitzen, die also kugelsymmetrisch sind.

Das wird klar, wenn man sich den Nabla-Operator   in Kugelkoordinaten ansieht:

 .

Damit ein Kraftfeld   nur in Radialrichtung zeigt, müssen   und   sein. Wenn   aber nicht von den Winkeln abhängt, dann wird es auch   nicht.

Winkelabhängige ZentralkraftfelderBearbeiten

Eine Konsequenz aus dem vorigen Abschnitt ist, dass winkelabhängige Zentralkraftfelder nicht konservativ sind; es gibt kein Zentralpotential, aus dem sie abgeleitet werden können. In ihnen hängt die verrichtete Arbeit vom Weg ab. Es gilt dann zwar der Flächensatz (Drehimpulserhaltung), nicht aber die Energieerhaltung.

ZentralbewegungBearbeiten

Die Bahn eines Massenpunktes in einem Zentralfeld liegt bei Gültigkeit der klassischen Mechanik in einer Ebene. Wichtige Systeme, die mit einer Zentralbewegung modelliert werden, sind:

KraftzentrumBearbeiten

Das (physikalische) Kraftzentrum liegt

  • für Ellipsen-, Parabel- und Hyperbelbahnen in einem der Brennpunkte der Bahn. Die zum Brennpunkt gerichtete Zentralkraft ist aufzuteilen in
  • für Kreisbahnen im Mittelpunkt des Kreises und damit auch des Krümmungskreises; in diesem Fall stimmt die Zentralkraft mit der Zentripetalkraft der Bahn überein.

Abgrenzung von der ZentripetalkraftBearbeiten

Die Zentripetalkraft wird ermittelt aus der Geschwindigkeit und der Bahnkrümmung der Bewegung eines Körpers an seinem aktuellen Ort und weist zum Mittelpunkt des (lokalen) Krümmungskreises, der nicht mit dem physikalischen Kraftzentrum übereinstimmen muss.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Central Force. In: ScienceWorld. Wolfram Research. 1996–2007. Abgerufen am 2. April 2013.