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Effektives Potential im Gravitationsfeld

Das effektive Potential ist ein Begriff aus der Mechanik, der bei der Behandlung von Zentralkräften, wie der Gravitationskraft bei der Planetenbewegung, nützlich ist. Im effektiven Potential sind die potentielle Energie und die azimutale Bewegungsenergie des umlaufenden Objekts vereinigt. Das effektive Potential ist, trotz seines Namens, genau genommen kein Potential, sondern es hat die Dimension einer Energie.

Nichtrelativistische MechanikBearbeiten

Ein Körper der Masse  , der sich in einem Zentralkraftfeld im Abstand   vom Kraftzentrum bewegt, hat eine Gesamtenergie, die sich aus der potentiellen Energie   und der kinetischen Energie   zusammensetzt. In Polarkoordinaten   ergibt sich:

 

Den azimutalen Anteil   der kinetischen Energie kann man durch den Betrag des Drehimpulses  , der bei einer Zentralkraft eine Erhaltungsgröße ist, ausdrücken und mit der potentiellen Energie zum effektiven Potential   zusammenfassen:

 

wodurch das effektive Potential definiert ist als:

 

Den zweiten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung bezeichnet man auch als Zentrifugalpotential oder Drehimpulsbarriere.

Man hat es in Gleichung   nun nur noch mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung in der radialen Koordinate   zu tun. Die Lösung einer solchen geschieht durch Anwendung der Methode der Trennung der Veränderlichen (dt und dr) mit den Bewegungskonstanten   und   als Parametern. Ihre Lösung ist durch das elliptische Integral

 

gegeben. Für eine andere, anschaulichere Lösung, bei der der Radius in Abhängigkeit des Winkels dargestellt wird, siehe unter Zweikörperproblem.

Anschaulich aus der Kurve des effektiven Potentials ergibt sich ohne weitere mathematische Überlegungen für   zunächst zwei Schnittpunkte   und   mit der effektiven Potentialkurve, zwischen denen sich der Körper auf seiner Bahn bewegt. Für das Minimum des effektiven Potentials fallen beide Distanzen zusammen und man erhält eine Kreisbahn. Für   beschreibt der Körper eine ungebundene Bewegung mit nur einem minimalen Abstand.

Allgemeine RelativitätstheorieBearbeiten

In der allgemeinen Relativitätstheorie erhält das effektive Potential Korrekturterme höherer Ordnung. Die Konstanten der Bewegung in der Schwarzschild-Metrik sind nicht mehr   und  , sondern   und  . Es gilt:

 ,

sodass das effektive Potential in der allgemeinen Relativitätstheorie als

 

dargestellt werden kann. Dieses Potential enthält den konstanten Term der Ruheenergie, gegen den das Potential für   auch strebt, und ist für  , den Schwarzschild-Radius, imaginär. Objekte mit einem Radius kleiner ihrem Schwarzschildradius nennt man schwarze Löcher.

Während in der klassischen Physik beliebig enge Bahnen um den Zentralkörper möglich sind, da für jedes   ein Minimum existiert, ist dies in der Schwarzschild-Lösung nicht der Fall. Das effektive Potential besitzt für   ein Maximum und ein Minimum an den Orten

 ;

unterhalb dieses Werts für den Drehimpuls ist es monoton steigend. Eine minimale stabile Umlaufbahn ergibt sich somit bei

 .

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Goldstein: Classical Mechanics. Addison-Wesley, 1980, ISBN 0-201-02918-9, S. 76 f. (englisch).
  • Volker Meden (RWTH Aachen): Skript zur Vorlesung Theoretische Physik I (Mechanik). 2012, S. 11 (rwth-aachen.de [PDF; abgerufen am 19. Dezember 2016]).