Zentripetalkraft

Kraftkomponente
Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft wird duch die Kufen übertragen.

Die Zentripetalkraft (auch Radialkraft) ist die Komponente der äußeren Kraft zum Mittelpunkt des Krümmungskreises, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahn bewegt.[1] Sie steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor im Inertialsystem. Die Zentripetalkraft genügt dem Prinzip von Actio und Reactio, da zu ihr eine Gegenkraft an einem anderen Körper existiert. Die Zentrifugalkraft ist dagegen eine Scheinkraft.

Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig in Richtung des momentanen Geschwindigkeitsvektors (dem Tangentialvektor der Bahn) bewegen, wie dies z. B. bei Funken beobachtet wird, die sich von einer Schleifscheibe ablösen.

Die Bewegung auf einer vorgegebenen Bahn, z. B. bei Achterbahnen oder im Straßenverkehr, erfordert eine Zentripetalbeschleunigung (auch Radialbeschleunigung), die sich aus den momentanen Werten für den Krümmungsradius der Bahn und die Geschwindigkeit ergibt.[2] Die dafür notwendige Zentripetalkraft ist das Produkt aus Zentripetalbeschleunigung und Masse.

Abweichend von der hier wiedergegebenen modernen Definition ist in älteren Texten die Zentripetalkraft oft die Kraft, mit der ein feststehendes Kraftzentrum die Körper anzieht. Dies wird heute als Zentralkraft bezeichnet.

Etymologie und BegriffsgeschichteBearbeiten

Der Begriff Zentripetalkraft leitet sich von petere (lateinisch für streben nach, sich begeben) ab. Er wurde als vis centripeta von Isaac Newton eingeführt. Newton verwendete den Begriff allerdings nicht im heutigen Sinne, sondern im Sinne einer anziehenden Zentralkraft.[3] Den Namen prägte Newton als Gegensatz zu der von Christian Huygens zuvor eingeführten Zentrifugalkraft.[4][5] Newton verstand darunter allerdings das, was heute Zentralkraft heißt, was bei nicht genau kreisförmigen Bahnen einen Unterschied bedeutet.

Unterschied von Zentripetalkraft und ZentralkraftBearbeiten

 
Zentralkraft

Während eine Zentralkraft stets auf den gleichen Punkt (oder von ihm weg) gerichtet ist, zeigt die Zentripetalkraft zum Mittelpunkt des momentanen Krümmungskreises. Nur bei einer reinen Kreisbewegung ist die Zentripetalkraft eine Zentralkraft. Bei einer elliptischen Planetenbahn z. B. ist die Zentralkraft an jedem Punkt auf das in einem der Brennpunkte der Ellipse feststehende Kraftzentrum gerichtet. Eine Zentralkraft kann am Ort des Körpers stets zerlegt werden in die Zentripetalkraft, die zum jeweiligen Zentrum der Bahnkrümmung gerichtet ist, und in eine dazu senkrechte Tangentialkomponente. Die Zentripetalkraft ändert an der Geschwindigkeit des Körpers nur die Richtung, die Tangentialkomponente nur den Betrag. Letztere sorgt z. B. bei Planeten dafür, dass sie sich nahe der Sonne schneller bewegen als in größerer Entfernung.

BeispieleBearbeiten

  • Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Zentripetalkraft wirkt. Sie ergibt sich aus der Summe der Seitenkräfte, die zwischen Reifen und Fahrbahn entstehen und auf das Fahrzeug einwirken. Fehlt diese Kraft (z. B. bei Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen. Der Fahrzeuginsasse bewegt sich auf der gleichen Kreisbahn wie das Auto, weil der Sitz auf ihn eine Zentripetalkraft ausübt.
  • Die Erde bewegt sich (annähernd) auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht, die in dieser Näherung sowohl eine Zentralkraft als auch eine Zentripetalkraft ist. Genauer betrachtet ist die Erdbahn, wie die Bahnen aller Planeten, keine Kreisbahn, sondern eine Ellipsenbahn (sofern man von den kleinen Störungen durch die Gravitation des Mondes und der anderen Planeten absieht). Die Gravitation zeigt als Zentralkraft auf die Sonne, die sich in einem der Ellipsenbrennpunkte befindet. Diese Zentralkraft weicht leicht von der Zentripetalkraft ab, die zum momentanen Zentrum der Bahnkrümmung zeigt. Die Differenz zwischen Zentralkraft und Zentripetalkraft ist eine Tangentialkomponente, die dafür sorgt, dass die Erde sich in Sonnennähe (im Perihel) schneller bewegt als in Sonnenferne.
  • Bewegen sich Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Richtung der Bewegung und des Magnetfelds in eine Kreisbahn abgelenkt. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft.
  • Bei Luftwirbeln ist die Zentripetalkraft der Druckgradient, d. h. im Wirbelkern herrscht Unterdruck.

Mathematische HerleitungBearbeiten

 
Ein Punkt bewegt sich auf einer Kreisbahn. Für die Zeitpunkte   und   befindet sich der Punkt in   bzw.   (Momentaufnahmen). Die Geschwindigkeitsvektoren   und   veranschaulichen die Änderung der Bewegungsrichtung.

Einfache HerleitungBearbeiten

Bewegt sich ein Punkt mit gleichbleibender Bahngeschwindigkeit   auf einer Kreisbahn, so ist die Geschwindigkeit in jedem Moment senkrecht zum Radius   des Kreises gerichtet. Die nebenstehende Zeichnung veranschaulicht diese Verhältnisse für die Zeitpunkte   und  

Zunächst lassen sich die Zusammenhänge rein geometrisch betrachten: Der in der Skizze blau dargestellte Pfeil   entsteht durch Parallelverschiebung des Pfeils   Ihre Längen entsprechen der Länge des Pfeils   Für die Längen dieser drei Pfeile gilt also:

 

Zudem sind die Dreiecke   und   ähnlich im geometrischen Sinn, denn:

  • Sowohl   und   als auch   und   sind jeweils Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks.
  • Die von den oben genannten Seiten eingeschlossenen Winkel   sind gleich, weil die Schenkel der Winkel paarweise orthogonal sind:   ist orthogonal zu  , und aufgrund der Parallelität von   und   sind auch   und   orthogonal.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke   und   folgt:

 

Multipliziert mit   erhalten wir:

 

Eine Division durch die Zeitspanne   ergibt:

 ,

Wird nun   hinreichend klein gewählt, so gilt:

  • Der vom Objekt zurückgelegte Weg   entspricht einem Abschnitt auf der Kreisbahn, und   ist die Bahngeschwindigkeit des Objekts.
  • Die Zentripetalbeschleunigung ist die Beschleunigung   , die das Objekt in Richtung Kreismittelpunkt erfährt.

Dann strebt die Gleichung gegen:

 ,

mit der Krümmung   der Bahn. Ist nun das kreisende Objekt nicht nur ein geometrischer Punkt, sondern ein Objekt mit der Masse  , so muss es eine Kraft geben, die das Objekt auf seiner Bahn hält. Die Kraft muss zum Kreismittelpunkt gerichtet sein und wird „Zentripetalkraft“ genannt. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt für den Betrag der Zentripetalkraft   somit:

 

Diese Zentripetalkraft wirkt auf jeden Körper mit der Masse  , der sich mit der Geschwindigkeit   auf einer Bahn mit dem lokalen Krümmungsradius   bewegt.

Vektorielle DarstellungBearbeiten

Für einen Punkt, der sich auf einer beliebigen (glatten) Kurve im Raum bewegt, gibt es zu jedem Punkt der Bahn eine eindeutig bestimmte Schmiegkugel, so dass die Bahn bis zur 3. räumlichen Ableitung der Kugeloberfläche folgt. Der Mittelpunkt der Kugel ist der Krümmungsmittelpunkt. Er bestimmt zusammen mit der Bahntangente, die auch die Richtung des Geschwindigkeitsvektors   angibt, die momentane Bahnebene. Diese schneidet die Schmiegkugel in einem Großkreis, auf dem sich der Punkt im betrachteten Moment im Zustand einer Kreisbewegung um den Krümmungsmittelpunkt befindet. Die Achse dieser Kreisbewegung steht in deren Mittelpunkt senkrecht auf der Bahnebene. Der Geschwindigkeitsvektor und der Vektor vom Kümmungsmittelpunkt zum Ort des betrachteten Punkts   stehen senkrecht aufeinander und erfüllen zusammen mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor   der Kreisbewegung die Gleichung

 .

Wenn der Punkt nicht in tangentialer Richtung beschleunigt wird, verschwindet die erste Ableitung von  . Die Beschleunigung   zeigt dann zum Krümmungsmittelpunkt, und gibt die Zentripetalbeschleunigung   an.

 .

Da die Vektoren   und   senkrecht aufeinander stehen, können die Beträge verwendet werden. Mit   ergibt sich für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung dieselbe Gleichung wie oben:

 .

Herleitung im kartesischen KoordinatensystemBearbeiten

Zunächst für eine gleichförmige Kreisbewegung eines Punktes mit Geschwindigkeit   auf einer Kreisbahn mit Radius  : In einem xy-Koordinatensystem in der Kreisebene mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises hat der Punkt (bei geeigneter Wahl des Zeitnullpunkts und  ) die Koordinaten

 .

Seine Beschleunigung ist die zweite Ableitung

 .

Daher ist

 ,

oder dem Betrag nach

 .

Diese Herleitung nutzt ein bestimmtes Koordinatensystem, um einen möglichst einfachen Weg darzustellen. Das Ergebnis ist aber eine Gleichung zwischen koordinatenunabhängigen Größen und gilt daher in jedem Koordinatensystem. Die Herleitung ist auch räumlich und zeitlich lokal und gilt daher für beliebig gekrümmte Bewegung und variable Bahngeschwindigkeit, wenn man für r den lokalen Krümmungsradius und für v die momentane Bahngeschwindigkeit einsetzt.

AnwendungenBearbeiten

Bei Bewegungsvorgängen im Alltag wird die Zentripetalkraft häufig durch Haftreibung übertragen. Bei Gleitreibung ist die Reibungskraft entgegen der Gleitgeschwindigkeit gerichtet und lässt eine kontrollierte Fortbewegung nicht zu. Die Zentripetalbeschleunigung muss hier die Bedingung:

 

mit dem Haftreibungskoeffizienten   und der Erdbeschleunigung   erfüllen. Untersuchungen zeigen, dass bei normaler Fahrt mit einem Pkw eine Zentripetalbeschleunigung von 4 m/s2 selten überschritten wird.[6] Beim Motorrad entspricht dies einer Schräglage von etwa 20 Grad.[7] Wesentlich größere Werte, die an die Belastungsgrenze des Menschen gehen, werden bei Kunstflugmanövern (z. B. Loopings) erreicht.

Bei vielen Problemen kann die Bestimmung des Krümmungsradius vereinfacht werden. Wenn die äußeren Kräfte bekannt sind, liefert die Bewegungsgleichung   Beschleunigung, Geschwindigkeit und Position des Massenmittelpunkts. Die Bahn, z. B. die Bewegung des Schwerpunkts eines Fahrzeugs, wird in der Projektion auf eine Referenzfläche betrachtet. In dieser ist die Komponente der Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit die gesuchte Zentripetalbeschleunigung. Im einfachsten Fall ist die Referenzfläche die x-y-Ebene des inertialen Bezugssystems.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M. Alonso, E. J. Finn: Physik, 3. Auflage
  2. Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik. 13. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, 2004, ISBN 3-486-27294-2, S. 79 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Principia, Definition 5 am Anfang des Werks
  4. I. Bernard Cohen: Newtons Third Law and Universal Gravity. In: Paul B. Scheurer, G. Debrock: Newtons Scientific and Philosophical Legacy. Kluwer, Dordrecht 1988, S. 47. ISBN 90-247-3723-0
  5. I. Bernard Cohen: Introduction to Newtons Principia. London 1971, S. 53, 296.
  6. Klaus Becker (Hrsg.): Subjektive Fahreindrücke sichtbar machen. expert verlag, 2000, ISBN 3-8169-1776-3, S. 44 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  7. Bernt Spiegel: Die obere Hälfte des Motorrads. 5. Auflage. Motorbuch Verlag, 2006, ISBN 3-613-02268-0, S. 43–44.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Zentripetalkraft – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien