Quadratwurzel aus 2

irrationale Zahl
(Weitergeleitet von Wurzel aus 2)

Die Quadratwurzel aus 2 ist in der Mathematik diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt, also diejenige Zahl , für die gilt. Diese Zahl ist eindeutig bestimmt, irrational und wird durch dargestellt. Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind:

= 1,414213562…

Allgemeines Bearbeiten

 
Euklid (fiktiv nach André Thevet, 1584)

Irrationalität Bearbeiten

Die Quadratwurzel aus 2 ist wie die Kreiszahl   oder die eulersche Zahl   irrational. Im Gegensatz zu den beiden ist sie jedoch nicht transzendent, sondern algebraisch. Bereits um 500 v. Chr. war dem Griechen Hippasos von Metapont die Irrationalität bekannt. Den wohl bekanntesten Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 veröffentlichte um 300 v. Chr. der Grieche Euklid.

Nachkommastellen Bearbeiten

Da Wurzel 2 irrational ist, hat die Zahl in jedem Stellenwertsystem unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen und lässt sich deshalb auch im Dezimalsystem nur näherungsweise darstellen. Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen lauten:

  (Folge A002193 in OEIS)

Kettenbruchentwicklung Bearbeiten

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Die Kettenbruchdarstellung von Wurzel 2 ist – im Gegensatz zur Kreiszahl   – periodisch, denn Wurzel 2 ist eine quadratische Irrationalzahl. Für die  -te Wurzel aus 2 mit   trifft dies jedoch nicht zu.

  (Folge A040000 in OEIS)

Diese periodische Entwicklung ergibt sich aus folgenden einfachen Tatsachen (mit der Gaußschen Abrundungsfunktion  ):

 
 
 
 

Die ersten Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung von   sind:

 

Kettenwurzeleigenschaft Bearbeiten

 
Grafische Veranschaulichung der Kettenwurzeldarstellung von  

Die Zahl   lässt sich folgendermaßen als unendlich fortgesetzte Kettenwurzel darstellen:[1]

 

Die Figur verdeutlicht die Konvergenz gegen   anhand der Funktionswerte der Wurzelfunktion   mit   unter Einbeziehung der Hilfsgeraden  .

Geometrische Konstruktion Bearbeiten

 
Konstruktion von Wurzel 2 auf der Zahlengeraden

Da irrationale Zahlen eine unendlich lange Dezimaldarstellung haben, ist es unmöglich, eine solche Zahl mit dem Lineal genau abzumessen. Es ist aber möglich, die Zahl   mit Zirkel und Lineal zu konstruieren: Die Diagonale eines Quadrates ist  -mal so lang wie seine Seitenlänge. Es reicht auch ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Katheten jeweils 1 Einheit lang sind. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann   Einheiten. Um dies zu beweisen, reicht der Satz des Pythagoras: Für die Länge   der Diagonale gilt  .

Das genannte Dreieck ist auch der Beginn der Wurzelschnecke.

Geschichte Bearbeiten

Bereits die alten Hochkulturen haben sich Gedanken über die Wurzel aus 2 gemacht. Die alten Inder schätzen   = 1,414215686… Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von   überein, die Abweichung beträgt nur +0,0001502 Prozent. Von ihrer Irrationalität wussten sie wahrscheinlich nichts. Die Babylonier wie auch die Sumerer schätzten um 1950 v. Chr. die Wurzel aus 2 umgerechnet noch auf 1,41. Aus der Zeit um 1800 v. Chr. ist von den Babyloniern eine weitere Näherung überliefert. Sie benutzten in ihrer Keilschrift ein Stellenwertsystem zur Basis 60 und berechneten die Näherung mit[2]

  = 1,414212962…

Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von   überein, die Abweichung beträgt nur −0,0000424 Prozent.

Im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte Hippasos von Metapont, ein Pythagoreer, entweder an einem Quadrat oder an einem regelmäßigen Fünfeck, dass das Verhältnis von Seitenlänge zu Diagonale nicht mit ganzen Zahlen darzustellen ist. Damit bewies er die Existenz inkommensurabler Größen. Eine antike Legende, wonach die Veröffentlichung dieser Erkenntnis von den Pythagoreern als Geheimnisverrat betrachtet wurde, ist nach heutigem Forschungsstand unglaubwürdig.

Vorkommen in der Natur Bearbeiten

Im Gehirn gibt es Gitterzellen, die 2005 von einer Gruppe um May-Britt und Edvard Moser entdeckt wurden: „Die Gitterzellen wurden in dem Kortexbereich gefunden, der sich direkt neben dem Hippocampus befindet […]. An einem Ende dieses kortikalen Bereichs ist die Maschenweite klein und am anderen Ende sehr groß. Die Maschenweite nimmt jedoch nicht zufällig zu, sondern von einem Bereich zum nächsten jeweils um den Faktor Quadratwurzel aus zwei.“[3]

Sonstiges Bearbeiten

  • Der Rekord liegt seit dem 19. Juni 2016 bei 10 Billionen Nachkommastellen, erzielt von Ron Watkins (Stand: 4. Februar 2019).[4]
  • Das Verhältnis der beiden Seitenlängen eines Blattes im DIN-A-Format beträgt   mit Rundung auf ganze Millimeter (und hat entgegen mancher Annahme nichts mit dem Goldenen Schnitt   zu tun). Dadurch ist sichergestellt, dass bei Halbierung des Blattes entlang der längeren Seite wieder ein Blatt im DIN-A-Format (mit um eins erhöhter Nummerierung) entsteht.
  • Die Wurzel aus 2 ist das Frequenzverhältnis zweier Töne in der Musik bei gleichschwebender Stimmung, die einen Tritonus, also eine halbe Oktave bilden.
  • In der Elektrotechnik enthält die Beziehung zwischen Scheitelwert und Effektivwert von sinusförmiger Wechselspannung ebenfalls die Konstante  .

Merkhilfe für die ersten Nachkommastellen Bearbeiten

Für   gilt:
Die ersten vier Zweierblöcke 1,4 | 14 | 21 | 35 der dezimalen Stellen sind, aufgefasst als zweistellige Zahlen, alle durch 7 teilbar.
Die vier darauf folgenden Ziffern lassen sich in zwei Blöcke 623 | 7 aufteilen, die ebenfalls durch 7 teilbar sind.

Ganzzahligkeit von Ausdrücken Bearbeiten

Für alle ganzen   ist nach dem binomischen Lehrsatz das allgemeine Glied der Pell-Folge

 

eine natürliche Zahl (für ganzzahliges   gilt  ).   ist der Nenner des  -ten Näherungsbruches der Kettenbruchentwicklung von  

Weblinks Bearbeiten

Commons: Wurzel 2 – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe, herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 179.
  2. Kleiner Geschichtsabriss zur Computer-, Technik-, Kommunikations- und Mediengeschichte. (Memento vom 9. Mai 2007 im Internet Archive). Beitrag zum Schülerprojekt Meine Welt 2020. Reportagen aus der Zukunft. 31. März 2000, abgerufen am 4. Februar 2024.
  3. Kaja Nordengen: Hjernen er sternen. Ditt eneste uerstattelige organ. Kagge Forlag AS, 2016, ISBN 978-82-489-2018-2, S. 81 (norwegisch (Bokmål)): “Gittercellene ble funnet barkområdet som ligger rett ved hippocampus […]. I den ene enden av dette barkområdet er maskestørrelsen liten og i den andre er den kjempe stor. Økningen i maskestørrelse er imidlertid ikke overlatt tilfeldighetene, men øker med kvadratroten av to, fra ett område til det neste.”
  4. Square Root of 2. In: numberworld.org. 9. Januar 2017, abgerufen am 4. Februar 2024.