Wirkungs-Winkelkoordinaten

Wirkungs-Winkelkoordinaten, auch Wirkungs-Winkelvariablen, sind ein Satz kanonisch-konjugierter Koordinaten, mit denen sich Dynamische Systeme vereinfachen lassen. Mit der Transformation zu Wirkungs-Winkelkoordinaten lassen sich Eigenfrequenzen von Oszillatoren bestimmen, ohne die Bewegungsgleichungen des Systems lösen zu müssen.[1]

Wirkungs-Winkelkoordinaten eignen sich besonders, wenn die Hamilton-Jacobi-Gleichungen separabel sind. Die Hamilton-Funktion hängt dann nicht explizit von der Zeit ab, sodass die Gesamtenergie des Systems erhalten ist.

Die Wirkungs-Winkelkoordinaten definieren invariante Tori im Phasenraum. Ihre Oberflächen sind Flächen konstanter Wirkung.

AnwendungsgebieteBearbeiten

Nach den Quantisierungsbedingungen für das Bohr-sommerfeldsches Atommodell muss die Wirkung ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums betragen, und auch in der modernen Quantenmechanik lassen sich Schwierigkeiten, nicht-integrable Systeme zu quantisieren, durch Wirkungs-Winkelkoordinaten ausdrücken.

Wirkungs-Winkelkoordinaten sind ebenfalls nützlich in der Störungstheorie der Hamiltonschen Mechanik, besonders um adiabatische Invarianten zu bestimmen. Eines der ersten Ergebnisse der Chaostheorie für nichtlineare Störungen dynamischer Systeme ist das KAM Theorem, welches Aussagen über die Stabilität der o. g. invarianten Tori trifft.

Wirkungs-Winkelkoordinaten werden für die Lösung des Toda-Gitters, die Definition von Lax-Paaren, oder die Idee der isospektralen Entwicklung von Systemen gebraucht.

Definition und HerleitungBearbeiten

Die Wirkungswinkel   lassen sich herleiten durch eine kanonische Transformation zweiter Art, bei der die erzeugende Funktion die zeitunabhängige charakteristische Hamiltonfunktion   ist, (nicht die Hamiltonsche Wirkungsfunktion  ). Da die ursprüngliche Hamiltonfunktion   nicht explizit von der Zeit abhängt, ist die neue Hamiltonfunktion   nichts Anderes als die alte, in neuen kanonischen Koordinaten ausgedrückt. Die neuen Koordinaten bestehen aus den Wirkungswinkeln  , welche den generalisierten Koordinaten   entsprechen, sowie den Koordinaten  , die den generalisierte Impulsen   entsprechen. (Die erzeugende Funktion   wird hier lediglich benutzt, um die neuen und alten Koordinaten zu verknüpfen, auf die explizite Form soll nicht weiter eingegangen werden.)

Anstatt die Wirkungswinkel direkt zu definieren, ist es einfacher, erst deren generalisierte Impulse   zu bestimmen. Diese sind definiert als

 

wobei der Integrationsweg implizit gegeben ist durch die Bedingung konstanter Energie  . Da die tatsächliche Bewegung für die Integration nicht gebraucht wird, sind diese generalisierten Impulse   erhalten, vorausgesetzt die transformierte Hamiltonfunktion   hängt nicht von den generalisierten Koordinaten   ab:

 

wobei

 

durch die kanonische Transformation gegeben ist. Daher hängt die neue Hamiltonfunktion   nur von den neuen generalisierten Impulsen   ab.

EigenschaftenBearbeiten

Die Bewegungsgleichungen des Systems in den neuen Koordinaten erhält man durch die Hamiltonschen Gleichungen

 

Da alle   erhalten sind, ist die rechte Seite ebenfalls erhalten. Die Lösung ist daher

 

wobei   eine entsprechende Integrationskonstante ist. Insbesondere für eine Oszillation oder eine Kreisbewegung in den ursprünglichen Koordinaten mit Periode  , erhält man eine Änderung des Wirkungswinkels   um  .

Die   sind daher die Frequenzen der Schwingung der ursprünglichen Koordinaten  . Dies lässt sich zeigen durch Integration der Wirkungswinkeländerung über eine Periode in den ursprünglichen Koordinaten  

 

Setzt man beide Ausdrücke für   gleich, erhält man die gewünschte Gleichung

 

LiteraturBearbeiten

  • L. D Landau, E. M Lifshitz: Mechanics. 32591126. Auflage. Pergamon Press, Oxford / New York 1976, ISBN 0-08-021022-8.
  • Herbert Goldstein: Classical mechanics. 2. Auflage. Addison-Wesley Pub. Co, Reading, Mass 1980, ISBN 0-201-02918-9.
  • G. A Sardanashvili: Handbook of integrable hamiltonian systems. URSS, Moscow 2015, ISBN 978-5-396-00687-4.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Edwin Kreuzer: Numerische Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-642-82968-6, S. 54 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).