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Hamilton-Funktion

Eine Bewegungsgleichung der klassischen Physik

Die Hamilton-Funktion (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion, die, wenn keine rheonomen, also zeitabhängigen, Zwangsbedingungen vorliegen, mit der Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen korrespondiert. Einfach ausgedrückt:

Die Hamilton-Funktion eines Systems von Teilchen ist i. d. R. ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt also von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten der Teilchen ab und kann auch von der Zeit abhängen.

DefinitionBearbeiten

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

 

und hängt ab von

  • der Zeit  ,
  • den generalisierten Koordinaten   und
  • den generalisierten Impulsen  .

Sie geht hervor aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion   bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten   abhängt:

 

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten   diejenigen Funktionen

 

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

 

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

EigenschaftenBearbeiten

AbleitungBearbeiten

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

 

Aufgrund der Produktregel erhält man

 

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses   die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

 

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

 
 
 

ErhaltungsgrößeBearbeiten

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

 

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit   abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:

 

ImplikationenBearbeiten

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

 
 

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für   als Funktion von Operatoren   und   liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

BeispieleBearbeiten

MassenpunktBearbeiten

Bei einem Teilchen der Masse  , das sich nichtrelativistisch in einem Potential   bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

 

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

 

gilt für die Hamilton-Funktion

 

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

 

hängt der generalisierte Impuls   gemäß

 

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

 

des Impulses.

Harmonischer OszillatorBearbeiten

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

 

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen FeldBearbeiten

In kartesischen Koordinaten ( ) lautet die Lagrange-Funktion eines Teilchens der Ladung  , das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt,

 

Dabei ist   das elektrische Potential und   das Vektorpotential des magnetischen Feldes. Der kanonische Impuls ist

 

Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird:

 

Wird der Ausdruck für   und   in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu:

 

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.