Whitehead-Turm

Hilfsmittel in der Mathematik

In der Mathematik ist der Whitehead-Turm eines topologischen Raumes ein Hilfsmittel bei der Berechnung von Homotopiegruppen.

Definition

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Es sei   ein gegebener topologischer Raum. Ein Whitehead-Turm von   ist eine Folge

 

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle   ist   eine Faserung, deren Faser ein Eilenberg-MacLane-Raum   ist
  •   ist  -zusammenhängend, d. h. für alle   ist  
  • für alle   ist  .

Konstruktion

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  ist die universelle Überlagerung von  .

  wird aus   wie folgt konstruiert. Zunächst kann man   in einen Raum   vom schwachen Homotopietyp des   einbetten, indem man sukzessive alle Homotopiegruppen der Dimensionen   durch Ankleben von Zellen der Dimensionen   „tötet“. Dann definiert man   als Raum aller Wege in  , die in einem Basispunkt   starten und in   enden.

Die "Endpunkt"-Projektion   ist eine Faserung, deren Faser der Schleifenraum   ist. Dieser hat den schwachen Homotopietyp eines  .

Falls   ein CW-Komplex ist, dann ist die Faser ein CW-Komplex und insbesondere also nach dem Satz von Whitehead ein  . Falls zusätzlich die höheren Homotopiegruppen   endlich erzeugt sind, dann ist der   homotopieuaquivalent zu einer topologischen abelschen Gruppe und die Konstruktion lässt sich so durchführen, dass für   die Faserungen   Prinzipalbündel mit abelscher Strukturgruppe sind.

Siehe auch

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Literatur

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  • H. Cartan, J.-P. Serre: Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales. C. R. Acad. Sci. Paris 234, (1952).
  • G. W. Whitehead: Fiber spaces and the Eilenberg homology groups. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 38, (1952). 426–430. PMC 1063578 (freier Volltext)
  • R. Bott, L. Tu: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4.