Wahrscheinlichkeitsstromdichte

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Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsstromdichte (genauer: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsstromdichte) ist eine Stromdichte, die im Rahmen der quantenmechanischen Kontinuitätsgleichung mit der quantenmechanischen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte assoziiert ist. Sie wird durch die Wellenfunktion im Ortsraum bestimmt und hat bei Abwesenheit magnetischer Felder die Form (zur Präzisierung siehe unten):

HintergrundBearbeiten

In physikalischen Feldtheorien treten Erhaltungsgrößen als Integrale über bestimmte Dichten auf. Solche Dichten, die zu den Erhaltungsgrößen gehören, genügen dann Kontinuitätsgleichungen, die eine spezielle Form einer Bilanzgleichung sind.

Allgemein enthalten Kontinuitätsgleichungen eine Dichte   und einen Strom   und verknüpfen sie der Gestalt

 

oder in integraler Formulierung mithilfe des Gaußschen Integralsatzes:

 

Anschauliche Bedeutung erfahren die Kontinuitätsgleichungen durch die integrale Formulierung, da die zeitliche Änderung der Dichte innerhalb eines Volumenelements gleich dem Strom über die Grenzen des Volumenelements hinein ist (  zeigt aus dem Volumenelement hinaus).

Da in der Kontinuitätsgleichung nur die Divergenz der Stromdichte auftritt, kann zu dieser stets ein Term proportional zur Rotation einer beliebigen vektorwertigen (hinreichend glatten) Funktion   addiert werden, da nach dem Satz von Schwarz   gilt.

Nichtrelativistische QuantenmechanikBearbeiten

In der Quantenmechanik ist, wie auch in der statistischen Mechanik, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eine Erhaltungsgröße. Diese Wahrscheinlichkeit, wenn man den gesamten Raum betrachtet, ist gleich Eins: das einzelne Teilchen muss irgendwo im Raum anzutreffen sein. In der Quantenmechanik ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion   gegeben:

 

Da die Wellenfunktion der Quantenmechanik eine vollständige Beschreibung des physikalischen Zustandes des Systems darstellt, ist zunächst aber unklar, wie die zugehörige Stromdichte der Wahrscheinlichkeitsdichte aussehen könnte, da man anders als in der Kontinuumsmechanik a priori kein zusätzliches Geschwindigkeitsfeld gegeben hat. Die Stromdichte muss vielmehr eine Funktion der Wellenfunktion sein.

Wahrscheinlichkeitsstromdichte ohne äußeres elektromagnetisches FeldBearbeiten

Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann mit Hilfe der Schrödingergleichung umformuliert werden:

 

wobei   der Hamiltonoperator ist. Setzt man die explizite Form des Hamiltonoperators ein, sieht man, dass das Potential   aus der Gleichung herausfällt. Es bleibt ein Term, den man noch in die Form

 

bringen kann. Aus einem Vergleich mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich die folgende Form der Wahrscheinlichkeitsstromdichte:

 

wie am Anfang des Artikels beschrieben.

Alternative Formulierungen:

 

wobei   der kanonische Impulsoperator ist.

Wahrscheinlichkeitsstromdichte mit äußerem elektromagnetischen FeldBearbeiten

Die Wellenfunktion im äußeren elektromagnetischen Feld gehorcht der Pauli-Gleichung. Dabei werden folgende Ersetzungen in der Schrödinger-Gleichung durchgeführt:

  • Zur korrekten Beschreibung des Spins wird aus der skalaren Schrödinger-Gleichung die Wellenfunktion   durch den zweikomponentigen Spinor   ersetzt.
  • Der Impulsoperator   wird durch   ersetzt, wobei   das Vektorpotential und   die elektrische Ladung des Teilchens ist. Den Term   (ohne „Operator-Hut“) nennt man im Gegensatz zum kanonischen auch kinetischen Impuls.
  • Der Hamiltonoperator   erhält einen Zusatzterm für die elektrostatische Energie mit dem elektrischen Potential   und wird zu  .

Dadurch ergibt sich eine mögliche Wahrscheinlichkeitsstromdichte zu

 .

Diese Wahrscheinlichkeitsstromdichte ist aufgrund der Ersetzung des kanonischen durch den kinetischen Impuls invariant unter den Eichtransformationen

 

mit einer beliebigen reellen Funktion  .

Es stellt sich jedoch heraus, dass sich zu dieser naiven Wahrscheinlichkeitsstromdichte ein Term proportional zu   addieren lässt, welcher ebenfalls eichinvariant ist (und als Rotationsterm die Kontinuitätsgleichung nicht verletzt). Tatsächlich ergibt sich aus der Dirac-Gleichung im nichtrelativistischen Grenzfall mit dem Pauli-Matrizen  :[1]

 

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. Marek Nowakowski: The Quantum Mechanical Current of the Pauli Equation. American Journal of Physics 67, 916 (1999). Artikel auf arxiv.org

WeblinksBearbeiten

  • Elektroniummodell Beschreibung von Atomen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsstromdichte